第四节基本不等式 [知识能否忆起] 一、基本不等式ab≤a＋b2 1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0. 2．等号成立的条件：当且仅当a＝b 时取等号． 二、几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b 同号)． ab≤a＋b22(a，b∈R)；a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)． 三、算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋b2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 四、利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当x＝y 时，xy 有最大值是p24 .(简记：和定积最大) [小题能否全取] 1．(教材习题改编)函数 y＝x＋1x(x＞0)的值域为( ) A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：选C x＞0，∴y＝x＋1x≥2，当且仅当x＝1 时取等号． 2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则 m＋n 的最小值为( ) A．18 B．36 C．81 D．243 解析：选A m>0，n>0，∴m＋n≥2 mn＝18.当且仅当 m＝n＝9 时，等号成立． 3．(教材习题改编)已知01，则x＋ 4x－1的最小值为________． 解析：x＋ 4x－1＝x－1＋ 4x－1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x－1＝4x－1，即 x＝3 时等号成立． 答案：5 5．已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝2x＋5y的最小值为________． 解析：由已知条件 lg x＋lg y＝1，可得 xy＝10. 则2x＋5y≥2 10xy＝2，故2x＋5y min＝2，当且仅当2y＝5x 时取等号．又 xy＝10，即 x＝2，y＝5 时等号成立． 答案：2 1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤a＋b22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化关系． 3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2＋b2≥2ab逆用就是 ab≤a2＋b22；a＋b2 ≥ ab(a...
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