近世代数 第一章 基本概念 §1 . 1 1 . 4 . 5 . 近世代数题解 §1 . 2 2 . 3 . 近世代数题解 §1. 3 1. 解 1)与 3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解 这实际上就是 M 中 n个元素可重复的全排列数nn． 3. 解 例如 A B＝E 与 A B＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解 §1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4． 5．略 近世代数题解 §1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射 3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5 . §1 . 6 1 . 2 . 解 1 )不是．因为不满足对称性；2 )不是．因为不满足传递性； 3 )是等价关系；4 )是等价关系． 3 . 解 3 )每个元素是一个类，4 )整个实数集作成一个类． 4 . 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把 Q 换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数 0 和 0 符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)． 5 . 6 .证 1 ）略 2 ） 7 . 8 . 9 . 1 0 . 1 1 . 12. 第二章 群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n 次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G 是群 方程 a x=b 与 y a=b 在 G 中有解( a ,b∈G)． 4)有限半群作成群 两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有 50 多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G 再加上方程 a x=b 与 y a=b 在 G 中有解( a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续(虽然这层手续一般是比较容易的)；优点是：①不用再去证明左单位元也是右单位元，左逆元也是右逆元；②从群定义本身的条件直接体现了左与右的对称性． 以施行“除法运算”，即“乘法”的逆运算．因此，群的‘方...
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