轴对称问题有限元法VIP专享VIP免费

1 第四章 轴对称问题有限元法 在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。这种问题就称为轴对称问题。在离心机械、压力容器、矿山机械、飞行器中经常遇到轴对称问题。 第一节 轴对称问题弹性力学基本方程 对于轴对称问题，宜采用圆柱坐标系（ , ,rz）。如果将 rzPxyz 弹性体的对称轴作为 Z 轴，则所有应力、应变和位移分量都只是 r和 Z 轴的函数，而与 无关，即不随 变化。弹性体内任意一点只有两个位移：即沿 r方向的径向位移u 和沿 Z方向的轴向位移w 。由于轴对称，沿 方向的环向（周向）位移v等于零。因此轴对称问题是二维问题。 在轴对称弹性体内用相距 dr 的两个圆柱面和过轴线互 2 成dθ 角的两个铅垂面切割出一个高为dz的微元体，如图2所示。 xyzOdrdrzdz(a) zzrrrzrzzrzr (b) 沿 r方向作用的正应力r 称为径向应力 沿 θ 方向作用的正应力 称为环向应力 沿 z方向作用的正应力z 称为轴向应力 rz面内的剪应力 zr=rz 3 故轴对称弹性体内任意一点的应力分量   Trzrz 对应的轴对称弹性体内任意一点的应变分量   Trzrz 其中 r ------ 沿r 方向径向线应变  ------ 沿θ 方向环向线应变 z ------ 沿z 方向轴向线应变 rz------ rz 面内的剪应变 与平面问题相比，轴对称问题多了一个环向应变 。弹性体受载时，点（ , ,rz）产生径向位移u ，使过点（ , ,rz）的周长增加了2()2rur，因而产生相对伸长，即环向应变: 2()22rururr 轴对称问题的几何方程（应变与位移之间的关系）为 ,,,rzzruuwwurrzrz 4 写成矩阵形式  rzrzururwzuwzr 根据虎克定律，应力与应变的关系为 1()rrzE  1()zrE  1()zzrE  12(1)rzrzrzrGE 由上式得 5  10111011(1)(1)(12)1011120002(1)rzzrrzrzE...