线性方程组的解法 1 引言 在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如 Ax= b 的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性 方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20 世纪 50 年代至 70 年 代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组 Ax =b 的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如 Jacobi 方法、Gauss—Seidel 方法、SOR 方法、SSOR方法 ，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20 世纪 50 年代至 70 年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有 Jacobi 方法、Gauss—Seidel 方法，SOR 方法、SSOR 方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A 的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为 ： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2） 其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量 X（0） 一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H 的谱半径小于 1，即ρ (H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ (H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jaco bi 迭代法 若 D 为 A 的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A 的一个分解：A = D－(L +U); 这里D 为A 的对角素构成的对 角矩阵, 为严格下三角阵，U 为严格上三角阵。 Jacobi 迭代的矩阵形式为 ： X（k+1）=HJX（k）+dJ (3) (3) 式 中: dJ= D-1b; HJ=I －D-1A, 称 HJ 为Jacobi 迭代 矩阵. 其计 算公 式为: 迭代矩阵HJ 的谱半径ρ (H) < 1，则对于任意迭代初值 X（0），Jacobi 迭代法收敛。 2.2 Gau ss-Seidei 迭代法 对于非奇异方程组，若 D 为A 的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为...
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