复变函数与积分变换(修订版复旦大学)第四章课后的习题答案VIP专享VIP免费

习题四 1. 复级数1nna与1nnb都发散,则级数1()nnnab和1nnna b发散.这个命题是否成立?为什么? 答.不一定．反例: 2211111111i,innnnnnabnnnn发散 但2112()innnnabn收敛 112()nnnnabn发散 241111[ ()]nnnna bnn收敛. 2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛? (1)2111i nnn (2)11 5i()2nn (3) π1einnn (4) 1ilnnnn (5) 0cosi2nnn 解 (1) 211111 i1( 1)i1( 1)innnnnnnnnn  因为11nn发散,所以2111i nnn发散 (2)111 5i26()22nnnn发散 又因为1 5i15lim()lim(i)0222nnnn 所以11 5i()2nn发散 (3) πi11e1nnnnn发散,又因为π111ππcosisine1ππ(cosisin)innnnnnnnnnn收敛,所以不绝对收敛. (4) 11i1lnlnnnnnn 因为11ln1nn 所以级数不绝对收敛. 又因为当 n=2k 时, 级数化为1(1)ln 2kkk收敛 当 n=2k+1 时, 级数化为1( 1)ln(21)kkk也收敛 所以原级数条件收敛 (5) 0000cosi1ee1e11( )()2222222nnnnnnnnnnne 其中0e( )2nn 发散,01()2nne收敛 所以原级数发散. 3.证明:若Re()0na,且1nna和21nna收敛,则级数21nna绝对收敛. 证明:设 2222i,(i)2innnnnnnnnnaxy axyxyx y 因为1nna和21nna收敛 所以21111,,() ,nnnnnnnnnnxyxyx y收敛 又因为Re()0na, 所以0nx 且2limlim0nnnnxx 当 n 充分大时, 2nnxx 所以21nnx收敛 2222222()nnnnnnaxyxxy 而212nnx收敛，221()nnnxy收敛 所以21nna收敛，从而级数21nna绝对收敛. 4.讨论级数10()nnnzz的敛散性 解 因为部分和110()1nkknnkszzz，所以， 1,1nzs 当时 1,0nzs当时 ， 1,nzs 当时不存在. 当iez而0 时（即1,1zz ），cosnθ 和sinnθ 都没有极限,所以也不收敛． ,nzs  当>1时 . 故当1z  和1z 时, 10()nnnzz...