圆锥曲线(椭圆)推论及证明VIP专享VIP免费

圆锥曲线（椭圆）推论及证明 引言 圆锥曲线作为一类特殊图形由于它的灵活性而成为热门考题。而在江苏的试题中它往往与函数相伴而行成为解析几何的题型。这些题目的形式大多是两问或三问，前面的问题以特殊情况来求出一种结论，最后一问将这个结论推广到给定条件下的任意情况，而这类题目中曲线又多是椭圆。这次我们就来总结椭圆的一些特性。 1 我们都学过在圆上过圆心的直线AB 交圆的两点A、B 及圆上另一与A、B 不重合的点C 形成的三角形为直角三角形，其中∠ACB=90°（图1）。 放在坐标系中则得 BCAC kk=-1。 那么是否在椭圆中过椭圆中心的直线AB 与椭圆交于A、B 两点（图2）， 其中 BCAC kk为定值？ 由投影变换（图3）我们可以预测这种关系。 下面我们来证明其正确性： 证： 设 A（x,y）,B（-x,-y）,C（m,n） BCAC kk 222222222222222222222222)()(baxmbmabxaxmbxaabmaaxmynxmynxmyn 证毕 小结： 这个结论需要牢记，因为在很多问题中我们会用到这个结论 例如右图所示，图中AC 与AB 斜率积为定值，CD 与AB 斜率 A B C A C B 圆 椭圆 投影变换 A D 积也为定值，那么AC 与CD 斜率的商就可以求出是定值 2 而若AB 是椭圆22221xyab 的不平行于对称轴的弦，M),(00 yx为AB 的中点，则22OMABbkka ，即0202yaxbKAB。 证： 设 A11, yx，B22, yx，则M 为2,22121yyxx 设 AB 为 nkny，椭圆方程为12222 byax 两式联立得01212222222bnxbknxbka 根据韦达定理得 22222222222222211222kabknabakabbknbkabknxx 所以 2222222222121222kabnbkabnkanxxknyy kabxxyykOM22212122 2222abkkabkkABOM 证毕 小结： 这个问题曾在题目中出现过，主要就是抓住直线与椭圆的方程联立，运用韦达定理求出21xx 并通过完全平方公式的互化求解 A B M O B C 3 椭圆上点P 处的切线PT 平分21PFF在点P 处的外角。 证： 设椭圆12222 byax,F1(-c,0),F2(c,0),P 00, yx， PF1斜率为1k ，PT 斜率为2k ，PF2斜率为3k 由题即证PT 平分PF1、PF2 即证3223211211kkkkkkkk PT 为12020 byyaxx cybacxcycxabacxcycxbba...