第四章 曲线曲面积分 第一讲 Ⅰ型曲线积分与Ⅰ型曲面积分 教学目的与要求：1. 理解Ⅰ型（对弧长的）曲线积分的概念和性质； 2. 理解Ⅰ型（对面积的）曲面积分的概念和性质； 3. 掌握计算曲线积分与曲面积分的方法； 4. 了解曲线积分与曲面积分的应用。 知识点：Ⅰ型曲线积分的概念、性质、计算及应用；Ⅰ型曲面积分的概念、性质、计算及应用 重点：Ⅰ型曲线曲面积分的计算 难点：Ⅰ型曲线曲面积分的概念 教学方式：启发对比式教学，多媒体辅助 教学思路：有定积分和重积分为基础，指出重积分及定积分的本质区别是积分区域不同，从而将积分区域再次变更，就自然地引入了Ⅰ型曲线曲面积分；为了得出精确定义以实例为背景，再逐一介绍性质、计算方法及应用，并以对比的方式进行。 教学过程： 一、引例与概念 指出定积分、二重积分、三重积分的概念都是构造性定义，它们的实际背景分别是曲边梯形的面积，曲顶柱体的体积、物体的质量，那么曲线形构件的质量，曲面形构件的质量又怎样得到，是否能得到我们所需要引进的概念，下面看引例。 1．引例 引例 1 设有线密度为ρ (x, y)的非均匀平面曲线形构件 L，求其质量 解：分割，M1，M2，„，Mn-1→△si， ( ,), ( ,)iiiiiiisms 求和，1( ,);niiiims （近似值） 取极限，01lim( ,)niiiims （精确值） 引例 2 设有线密度为( , , )x y z的非均匀空间曲线形构件 ，求其质量。 解：分割，M1，M2，„，Mn-1→△si， (,,), (,,)iiiiiiiiisms 求和，1( ,,);niiiiims （近似值） 取极限，01lim( ,,)niiiiims （精确值） 引例 3 设有面密度为( , , )x y z的非均匀光滑曲面形构件 ，求其质量。 解：分割，用一族曲面将 分割，iS ( ,,), ( ,,)iiiiiiiiiSmS 求和，1( ,,);niiiiimS （近似值） 取极限，01lim( ,,)niiiiimS （精确值） 以上三个引例有共同点：（1）都与函数和区域有关；（2）处理方法一样（分割、求和、取极限），（3）结果一样（和的极限）。 由此可得Ⅰ型曲线曲面积分的定义。 2．概念 Ⅰ型线面积分的统一定义（形式上的定...
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