一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在 1900 年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。 希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。 大家知道，在一个欧几里得空间 R^n 上，所有的点可以写成为：X=（x1，x2，x3，...，xn）。那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3，....xn，.....），一个点的序列。 欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2=∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个 xn，∑xn^2可以不存在（为无穷大）。于是希尔伯特将所有∑xn^2 为有限的点做成一个子空间，并赋以 X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积。这个空间我们现在叫做 l^2，平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。 注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。只有范数的空间叫做Banach 空间，（以后有时间再慢慢讲:-） 。 如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。 Hilbert 空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑xn^2 为有限的点。这个最早的 Hilbert space 叫做l^2（小写的 l 上标2，又叫小l2 空间），非常类似于有限维的欧氏空间。 数学的发展可以说是一部抽象史。最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而 Hilbert space理论发展就正是如此：“内积 + 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。 单位闭区间上所有平方可积的实函数（就是说 f（x）的平方在[0，1]上的积分存在且有限）按照函数的加法和数乘成为一个线性空间，然后我们定义内积如下：= ∫|f*g|dx，范数‖f‖=根号=根号∫（f）^2dx。容易验证它们满足内积和范数的几个公理（有兴趣的同学可以随便翻翻任何一本泛函书）。这样把（平方可积）函数看作一个个的点，由...
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