函数的增减性、函数的奇偶性VIP专享VIP免费

本周内容：函数的增减性、函数的奇偶性 重点难点分析： 1．不能把一个完整的单调区间随意分成两个区间，例如y =3x 的单调区间(-∞,+∞)不可以写成(-∞,0]和 [0,+∞)，也不能把本来不是一个区间的单调区间合起来。例如y =的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)，而不能写成x ∈R 且 x ≠0。 2．设 y =f(u ),u =g(x )，复合函数y =f[g(x )]的增减性有下面二种情况： （1）若 u =g(x ), y =f(u )在所讨论区间上都是递增或递减的，则 y =f[g(x )]在该区间上为增函数。 （2）若 u =g(x ), y =f(u )，在所讨论区间上一个是递增的，另一个是递减的，则 y =f[g(x )]在该区间上为减函数。 3．奇函数或偶函数都是定义在关于原点对称区间上的函数，且等式f(-x )=f(x )或f(-x )=-f(x )是定义在对称区间上的恒等式，而不是只对自变量的部分值成立的方程，所以，只要出现以下两种情况之一，函数就不是偶函数或奇函数： （1）定义域不是关于原点对称的区间 （2）f(-x )=f(x )和f(-x )=-f(x )不是定义在定义域上的恒等式。 典型例题： 例1．求 y =lo ga(-2x 2+x +3)的递减区间 解：令 u =-2x 2+x +3>0 得定义域为(-1,), u =-2(x -)2+3, x ∈(-1,), 当 x ∈(-1, ]时，u =-2x 2+x +3 为增函数， 当 x ∈[,)时，u =-2x 2+x +3 为减函数。 （1）如果a>1，则y =lo gau 为增函数， y =lo ga(-2x 2+x +3)的递减区间为[,)。 （2）如果00)在区间(0,+∞ )上的单调性，并证明。 解：任取x 1, x 2∈(0,+∞ )且 x 11,1- <0, 此时(*)>0，f(x 1)>f(x 2), f(x )在(0,]上是减函数。 (2) 当 x 1, x 2∈[,+∞ )时，x 1x 2>a, 0<<1, 1->0，此时(*)<0, f(x 1)0,a>0, 根据均值不等式 ∴x +，当且仅当 x =时取等号，即 y 最小。所以在x =时函数图像是最低的，即函数图像从左向右是先降后升的，转折点是x =，可以自己画出函数草图。 例3．求y=cos(-2x)递增区间。 解：方法(1) 设u=-2x, y=cosu,...