函 数 的 凹 凸 性 在 高 考 中的 应用 崇仁二中 廖国华 教学目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。 ②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。 教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题 教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征 教学过程： 一、课题导入 1. 展示崇仁县第二中学2008 届高三第一次月考试题12 得分统计表 班级 考试人数 答对人数 答错人数 正确率 高三（1）班（理） 54 19 35 35.1% 高三（11）班（文） 61 12 49 19.7% 2.组织学生现场解答月考试题12 并进行得分统计，以引出课题——— 题目： 一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1 所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（ ）．（选自《中学数学教学参考》2001 年第1～2 合期）的《试题集绵》． 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公 平，能考查 学生的创新能力和 潜 在 的数学素 质 ，体现“高考命 题范 围 遵 循 教学大纲 ，又 不 拘 泥 于教学大纲 ”的改 革 精 神 ．但 由 于 函数曲线的凹凸性在 中学教材 中既 没 有 明 确的定义，又 没 有作 专 门 的研究，因 此 ，就 多 数学生而 言 ，对这类 凹凸性曲线问题往 往 束 手 无 策 ； 而 教师 的“导数”理解又 不 能被 学生所接 受 ．所以，对这类 非 常 规 性问题作 一探索，并引导学生去 得到 一般 性的解法，无 疑 对学生数学素 质 的提 高和 创新精 神 的培养以及在 迅 速 准 确解答高考中出现此 类 的试题都 是十 分重要 的。 二、新课讲 授 1、凹凸函数定义及几何特征 图1 图2 ⑴引出凹凸函数的定义： 如图 3 根据单调函数的图像特征可知：函数)(1 xf与)(2 xf都是增函数。但是)(1 xf与)(2 xf递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1 xf的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2 xf的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第 201 页）： 设函数 f 为定义在区间 I 上的函数，若对（a，b）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()()()22xxf xf xf，则称 f 为（a，b）上的凹函数； （2）1212()()()22xxf xf xf，则称 f 为（a，b）上的凸函...
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