函数最值求法VIP专享VIP免费

函数最值求法 1.判别式法 若函数 ( )yf x可化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程: 2( )( )a y xb y x ( )0c y。在 ( )0a y 时,由于,x y 为实数,则有 2( )4 ( ) ( )0bya y c y ,由此可以求出 y 所在的范围,确定函数的最值。 例 1.1 已知332pq,其中 ,p q 是实数,则 pq的最大值为______。 解:设 spq,由332pq得, 22()()2pqpqpq 2()[()3]2pqpqpq 3()3()2pqpq pq 212()3pqss ,p q 是方程2212()03xsxss的两个实根. 2242()03sss  整理化简, 得38s  ,故2s  . 即 pq的最大值为 2 例 1.2 实数,x y 满足224545xx yy,设22sxy,则maxmin11ss的值为_______。 解:由题意知, 415xys,故224()(1)5x ys 又22xys 22,xy是方程224(1)05tsts的两个实根. 222439324(1)405255ssss   解得1010133s ，即minmax101013,3ss maxmin1185ss 2.函数的单调性法 当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整个区间上不是单调的 ，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。 例2.1 求函数22( )81448f xxxxx的最小值和最大值。 解：先求定义域，由228014480xxxx 得 68x 又( )86f xxxx6 86xxx ，6,8x  故当6,8x ，且x 增加时，6xx增大，而8x减小.于是( )f x是随着x 的增大而减小，即( )f x在区间6,8 上是减函数，所以 min( )(8)0fxf , max( )(6)2 3fxf 例2.2 求函数2125xyxx，322x的最大值和最小值。 解： 1x  21141411xyxxx  ， 3 ,22x  令4( )f ttt ，1 ,12t .当12112tt时，有 21212144( )( )()()f tf ttttt211 24()(1)ttt t0 4( )f ttt 在1 ,12上是减函数，因此 min( )(1)5ftf ，max117( )( )22ftf min217y ， max15y 3.均值不等式法 均值不等式:设12,,...,...