函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全VIP专享VIP免费

函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数)(xfy ，如果存在一个不为零的常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf都成立，那么就把函数)(xfy 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(xfxf 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(xfy 关于ax 对称)()(xafxaf )()(xafxaf也可以写成)2()(xafxf 或 )2()(xafxf 简证：设点),(11 yx在)(xfy 上，通过)2()(xafxf可知，)2()(111xafxfy，即点)(),2(11xfyyxa也在上，而点),(11 yx与点),2(11 yxa 关于 x=a 对称。得证。 若写成：)()(xbfxaf，函数)(xfy 关于直线22)()(baxbxax 对称 （2）函数)(xfy 关于点),(ba对称bxafxaf2)()( bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成 或 bxfxaf2)()2( 简证：设点),(11 yx在)(xfy 上，即)(11xfy ，通过bxfxaf2)()2(可知，bxfxaf2)()2(11， 所 以1112)(2)2(ybxfbxaf， 所 以 点)2,2(11ybxa也在)(xfy 上，而点)2,2(11ybxa与),(11 yx关于),(ba对称。得证。 若写成：cxbfxaf)()(，函数)(xfy 关于点)2,2(cba  对称 （3）函数)(xfy 关于点by 对称:假设函数关于by 对称，即关于任一个 x 值，都有两个 y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于by 对称。但在曲线 c(x,y)=0，则有可能会出现关于by 对称，比如圆04),(22yxyxc它会关于 y=0 对称。 4、 周期性： （1）函数)(xfy 满足如下关系系，则Txf2)( 的周期为 A、)()(xfTxf B、)(1)()(1)(xfTxfxfTxf或 C、)(1)(1)2(xfxfTxf或)(1)(1)2(xfxfTxf（等式右边加负号亦成立） D、其他情形 （2 ）函数)(xfy 满足)()(xafxaf且)()(xbfxbf，则可推出)](2[)]2([)]2([)2()(abxfbxabfbxabfxafxf即可以得到)(xfy 的周期为2...