随机过程方兆本引言VIP专享VIP免费

§1.1引言第一章引论定义1.1随机过程就是一族随机变量其中t是参数,它属于某个指标集T,T称为参数集.}),({TttX一般地,t表示时间.当T={0,1,2,…}时称随机过程为随机序列.对X(t)可以这样看:随机变量是定义在空间上的,所以是随t与而变化的.于是可以记为X(t,).当固定一次随机试验,即取定0时,X(t,0)就是一条样本路径.它是t的函数;另一方面,固定时间t=t0,X(t0,)就是一个随机变量,其取值随着随机试验的结果而变化,变化有一定的规律,用概率分布来描述.随机过程在t时刻的值称为过程所处的状态,状态的全体称为状态空间.依照状态空间不同可分为连续状态和离散状态;依照参数集T,当T为有限集或可数集则称为离散参数过程,否则称为连续参数过程.当T是高维向量时称X(t)为随机场.例1.1英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行不规则的运动,这种运动叫做Brown运动.它是一个随机过程.Brown运动是分子大量随机碰撞的结果.若记(xt,yt)为粒子在平面坐标上的位置,则它是平面上的Brown运动.例1.2若某人在一个直线格子点上,从原点出发进行行走,规则如下:掷一枚硬币,若正面向上则前进一个格子;若反面向上则后退一个格子.以X(t)表示他在t时刻所在的位置,则X(t)就是一种直线上的随机游动.-2-10123例1.3到达总机交换台的呼叫次数为Poisson过程.每次呼叫是相互独立的,而间隔时间服从指数分布.交换台在同一时间只能接通K个呼叫.人们常要了解在某一时刻的排队长度以及呼叫的平均等待时间.这是一种排队模型.该模型可以应用于对超市、公交车站的管理或服务研究。例1.4流行病学的研究中有如下模型:在时刻0时易感人群大小为X(0),Y(0)是已受传染的人数.假定易感人群被传染的概率为p,则经过一段传染周期后(记为单位时间)X(0)中有X(1)没有染上病而Y(1)却受到传染.传染过程一直蔓延到再没有人会染上这种流行病时停止.于是且当时有{X(t),t=1,2,…}就是以上式为状态转移概率的Markov过程.)1()()1(tYtXtXijjjijiippCitXjtXP)1(})(|)1({例1.5记X(t)为时刻t的商品价格.若X(t)适合线性模型其中为实参数,Z(t)为独立同分布的不可观测的随机变量,则X(t)服从ARMA模型——自回归滑动平均模型.这是在经济预测中十分有用的时间序列模型.)()1()()()2()1()(121qtZtZtZptXtXtXtXqpkk,•有限维分布和数字特征对于随机过程,TttX),(过程的一维均值函数为)]([)(tXEtX过程的方差函数为)]t(X[Var)t(2X过程的一维分布为})({)(xtXPxFt过程的自相关函数为)]()([),(2121tXtXEttrX过程的协方差函数为))]()())(()([())(),((),(22112121ttXttXEtXtXCovttRXXX})(,)({),(221121,21xtXxtXPxxFtt对于随机过程,其中随机变量与的关系有X(t1)与X(t2)的联合分布为TttX),()(1tX)(2tX即过程在t1,t2两个不同时刻值的联合二维分布.自相关函数和协方差函数性质:1.对称性,即对任何s,t有),(),(strtsrXX),(),(stRtsRXX2.非负定性,即对任何t1,t2,…,tnT及任意系数b1,b2,…,bn有0),(11jiXninjjittrbb0),(11jiXninjjittRbb})(,,)(,)({),,,(221121,,,21nnntttxtXxtXxtXPxxxFn对于随机过程,其有限维分布族为TttX),(有限维分布的性质:1.对称性),,,(),,,(21,,,,,,212121ntttiiitttxxxFxxxFnnniii2.相容性),,,(),,,,,(21,,,1,,,,,2111mtttmttttxxxFxxFmnmm例1.6记Xn为第n次独立地扔一枚骰子的结果,则{Xn,n1}为一随机过程.参数集T为{1,2,…},而状态空间为{1,2,3,4,5,6}.5.3][][1XEXEn均值函数为:nmnmnmRX,0,1235),(协方差函数为:任何有限维分布:)()()(),,,(2121,,,21kknnnxFxFxFxxxFk其中F(x)为X1的分布函数.•平稳过程和独立增量过程如果一个随机向量与另一个随机向量有相同的联合分布函数,则称这两个随机向量是同分布的,记为.),,(1nXXX),,(1nYYYYXd定义1.2如果随机过程X(t)对任意的t1,…,tnT和任何h有则称X(t)为严格平稳的.))(,),(())(,),((11ndntXtXhtXhtX定义1.3如果随机过程X(t...