第七章平面问题的直角坐标解答用极坐标解弹性力学的平面问题,与直角坐标一样 ,也归结为在给定的边界条件下求解双调和方程.求得了应力函数U,再求应力分量 ,然后由应力分量求应变分量,再由应变分量求位移分量. 极坐标形式的几何方程为: 11uuuuuu物理方程 (广义虎克定律 ): 1 ()1 ()2(1)EEE对于平面应变问题必须将式中的E 和分别改为 : 21E和1. 应力分量为 : 2112222uuu2111()2uuu极坐标形式下的双调和方程: 22221111()()0222222uuu轴对称 应力和对应的位移: 应力表达式为 : 1(1 2ln)222(32ln)2220duABCdd uABCd在轴对称应力情况下,如果物体的几何形状和受力(或几何约束 )也是轴对称的 ,则位移也是轴对称的. 应力分量为 : 2 ,222AACC0位移分量为 : 1[ (1)2(1)],0AuCuE明确上式在运用于平面应变问题 时,必须将其中的 E 和分别换成: 21E和1. 平面问题的极坐标与直角坐标的转换: cos2sin222cos2sin222sin2cos2,2xyxyxyxyxyxyyxxyr作业 7-4 解:该问题是位移轴对称的平面应变问题, 该物体的几何形状和受力及几何约束也是轴对称的.筒壁的 泊松比 为: 1,弹性模量为: 21E. 应力和位移分量 的表达式可以分别取为: 2 ,2 ,022AACC. 21[ (1)2(1)],011AuCuE. 边界条件 为: (),()0,q uab由()qa,得到 :22AqCa①又由 :()0ub,得到 : 210[ (1)2(1)]11ACbEb②联立求解①式和②式可以得到: 2 2(1 2 )/02/(2)0Aqa bNCqaN其中22(1 2 )0Nab将,A C 的表达式 回代 入,和 u的表达式当中,整理得到: 1 211 21()()2222,,0,1 211 2122221 21 2()221,0.1 2122qqbbababqbuq uEab
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