1 / 4 平面向量与三角形“四心”的应用问题湖南省箴言中学刘光明三角形的外心，内心，重心及垂心，在高考中的考查是比较棘手的问题，先课程教材中所加的内容，更加引起我们的重视，尤其与平面向量结合在一起，那就更加难于掌握了。本文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳，供学习时参考．1课本原题例１ 、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OPOPOP，123|| || || 1OPOPOP，求证：123PP P△是正三角形．分析对于本题中的条件123|| || || 1OPOPOP，容易想到，点 O 是123PP P△的外心，而另一个条件1230OPOPOP表明，点 O 是123PP P△的重心．故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在 1951 年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的．显然，本题中的条件123|| || || 1OPOPOP可改为123|| || ||OPOPOP ．2高考原题例２ 、O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()[ 0 ,).||||A BA CO PO AA BA C则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的（）．A．外心B．内心C．重心D．垂心分析已知等式即()||||ABACAPABAC，设,||||ABACAEAFABAC，显然,AE AF 都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP 为ABC 的平分线，选 B ．例３ 、ABC 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，()OHm OAOBOC ，则实数 m = ．2 / 4 分析 ：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式0AH BC，将其中的向量分解，向 已 知 等 式 形 式 靠 拢 ， 有() ()0OHOAOCOB， 将 已 知 代 入 ， 有[()] ()0m OAOBOCOAOCOB，即22()(1)0m OCOBmOA BC，由 O 是外心， 得(1)0mOA BC，由于ABC 是任意三角形，则 OA BC 不恒为０，故只有1m恒成立．或者，过点 O 作 OMBC 与 M ，则 M 是 BC 的中点，有1 ()2OMOBOC ； H 是垂心，则 AHBC ，故 AH 与 OM 共线，设 AHkOM ，则()2kOHOAAHOAOBOC ，又()OHm OAOBOC ，故可得 (1)()()022kkmOAmOBmOC，有102kmm，得1m．根据已知式子()OHm OAOBOC 中的 OAOBOC 部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G ，O 是平面内任一点，均有3OAOBOCOG，由题意，题目显...
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