1 / 2 平面向量中三点共线定理的扩展及其应用广东省云浮市邓发纪念中学杨再华一、问题的提出及证明。1、向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：.OAxOByOC （O为平面内任意一点），其中1xy。那么1xy、1xy时分别有什么结证？并给予证明。结论扩展如下： 1、如果 O为平面内直线 BC外任意一点，则当1xy时 A 与 O点在直线 BC同侧，1xy时， A与 O点在直线 BC的异侧，证明如下：设 OAxOByOC且 A 与 B、C不共线，延长 OA与直线 BC交于 A1点设1OAOA （≠0、≠1）A1 与 B、C共线则 存在两个不全为零的实数m、n 1O Am O Bn O C且1mn则OAmOBnOCmnOAOBOCmx、ny1mnxy（1）1 则1xy则111OAOAOAA 与 O点在直线 BC的同侧（如图 [1] ）（2）0 , 则101xy，此时 OA与1OA 反向 A与 O在直线 BC的同侧（如图 [2] ）图[2] B C A1O A O A1B C A 图 [1] 2 / 2 （3）1o，则1xy此时111OAOAOA A 与 O在直线 BC的异侧（如图 [3] ）图[3] 2、如图 [4] 过 O作直线平行 AB，延长 BO、AO、将 AB的 O侧区域划分为 6 个部分，并设 OPxOAyOB , 则点 P落在各区域时， x 、 y 满足的条件是：（Ⅰ）区：0001xyxy（Ⅱ）区：0001xyxy（Ⅲ）区：0001xyxy（Ⅳ）区：0011xyxy（Ⅴ）区：00xy（Ⅵ）区：0010xyxy（证明略）二、用扩展定理解高考题。（1）[2006 年湖南（文） 10] 如图[5] OMAB ，点 P在由射线 OM , 线段 OB 及 AB的延长线围成的阴影区域内 （不含边界），且 OPxOAyOB ，则实数对（ x 、y ）可以是⋯⋯（） A.（ 14， 34） B.（23， 23） C.（14， 34） D.（15， 75）解：根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则0x，且1Oxy，则选 C （2）[2006 年湖南（理）15] 如图[5] OMAB ，点 P在由射线 OM ，线段 OB 及 AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OPxOAyOB，则 x 的取值范围是。当12x时， y 的取值范围是。解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有：0x，且当12x，有：1Oxy，即1131222Oyy答案为：0x，（ 12， 32）A B C A1O A B O ⅢⅣⅤⅥⅠⅡM B A O P 图[4]图 [5]
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