题目幂法和反幂法求矩阵特征值课程设计具体内容随机产生一对称矩阵，对不同地原点位移和初值(至少取3 个)分别使用幂法求计算矩阵地主特征值及主特征向量，用反幂法求计算矩阵地按模最小特征值及特征向量，并比较不同地原点位移和初值说明收敛.要求1.认真读题，了解问题地数学原形；2.选择合适问题求解地数值计算方法；3.设计程序并进行计算；4.对结果进行解释说明；采用方法及结果说明对于幂法和反幂法求解矩阵特征值和特征向量地问题将从问题分析，算法设计和流程图，理论依据，程序及结果进行阐述该问题.一．问题地分析：求 n 阶方阵 A 地特征值和特征向量，是实际计算中常常碰到地问题，如：机械、结构或电磁振动中地固有值问题等.对于 n 阶矩阵 A ，若存在数和 n 维向量 x 满足 Ax=x （1）则称为矩阵 A 地特征值， x 为相应地特征向量.由高等代数知识可知，特征值是代数方程 |I-A|=n +a 11n+⋯ +a1n+a n =0 （2）地根 .从表面上看，矩阵特征值与特征向量地求解问题似乎很简单，只需求解方程（ 2）地根，就能得到特征值，再解齐次方程组（I-A ）x=0 （3）地解，就可得到相应地特征向量.上述方法对于n 很小时是可以地.但当 n 稍大时，计算工作量将以惊人地速度增大，并且由于计算带有误差，方程（2）未必是精确地特征方程，自然就不必说求解方程（ 2）与（ 3）地困难了.幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大地特征值）及对应特征向量地迭代方法，特别是用于大型稀疏矩阵.反幂法是计算海森伯格阵或三角阵地对应一个给定近似特征值地特征向量地有效方法之一.二．算法设计及流程图1、幂法算法（1）取初始向量u)0(（例如取 u)0(=(1,1,⋯ 1)T ）,置精度要求，置 k=1. （2）计算v)( k =Au)1(k,m k =max(v)( k ), u)( k = v)( k / m k（3）若 | m k = m1k|<，则停止计算（m k 作为绝对值最大特征值1 ，u)( k 作为相应地特征向量）否则置k=k+1 ，转（ 2）2、反幂法算法（1）取初始向量u)0(（例如取 u)0(=(1,1,⋯ 1)T ）,置精度要求，置 k=1. （2）对 A 作 LU 分解，即 A=LU（3）解线性方程组 Ly)( k =u)1( k,Uv)(k =y)( k（4）计算 m k =max(v)( k ), u)(k = v)( k / m k（5）若 |m k =m1k|<，则停止计算（1/m k 作为绝对值最小特征值n ， u)( k 作为相应地特征向量）。否则置k=k+1 ，转（ 3）.幂法流程图：反幂法流程图开始输入 A；[m...
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