巧用旋转法解几何题2 3 4 AD=DB，∠ ADG=∠BDF ∴⊿ ADG≌⊿BDF（SAS）∴∠ DAG=∠DBF，BF=AG ∴AG∥BC ∠C=90 °∴ ∠EAG=90°∴EG2=AE2+AG2=AE2+BF2 DE⊥DF ∴EG=EF ∴EF2=AE2+BF2 例 2，如图 2，在⊿ ABC中，∠ ACB=90° ，AC=BC，P是⊿ ABC内一点，且 PA=3，PB=1，PC=2，求∠ BPC的度数 . 分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。解：作 MC⊥CP，使 MC=CP，连接 PM，BM ∠ ACB=90° ，∠ PCM=90° ∴∠ 1=∠2 AC=BC， ∴⊿ CAP≌⊿CBM（SAS）∴MB=AP=3 GFEDCBA5 PC=MC，∠ PCM=90°∴∠ MPC=45°由勾股定理PM==22MCPC=22PC =22 ，在⊿ MPB中，PB2+PM2=（22 ）2+12=9=BM2∴⊿ MPB是直角三角形∴∠ BPC=∠CPM+∠MPB=45° +90° =135°例 3，如图 3，直角三角形 ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ,∠EAF=45° ，求证： EF2=BE2+CF2分析：本题求证的结论和例1 十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE，CF转移到同一个直角三角形中， 由于⊿ BAC是等腰直角三角形， 不妨以 A 为旋转中心，将∠ BAE和∠ CAF合在一起，取零为整。证明：过 A 作 AP⊥AE交 BC的垂线 CP于 P，连结PF ∠ EAP=90° ，∠EAF=45°∴∠ PAF=45° ∠ BAC=90°∴∠ BAE=∠PAC A PMCBA6 AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠ACP=45°∴⊿ ABE≌⊿ACP（ASA）∴PC=AE，，AP=AE ∴⊿ AEF≌⊿APF（SAS）∴EF=PF 故在 Rt⊿PCF中，PF2=CF2+PC2, 即 EF2=CF2+AE2例 4，如图 4，正方形 ABCD中， E，F 分别在 AD，DC上，且∠ EBF=45° ， BM⊥EF于 M，求证： BA=BM 分析 : 本题与例3 相同之处在于直角三角形家夹有45° 角，可利用相同的方法，将∠ABE和∠CBF“化散为整”来构造全等三角形。证明：延长 FC到 N，使 CN=AE，连结 BN 四边形 ABCD是正方形∴AB=AC，∠ BAC=90° ∠ EBF=45 °∴ ∠ ABE+∠CBF=45°由⊿ ABE≌⊿CBN知 BE=BN，∠CBN=∠ABE ∴∠CBN+∠CBF=45° ，即∠ EBF=∠NBF 又 BE=BN，BF=BF ∴⊿EBF≌⊿NBF（SAS）∴BM=BC NDFECBA7 ∴BM=BA 例 5、如图 6，五边形 ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝ CD，∠ ABC＋∠ AED＝180° 。求证：∠ ADE＝∠ADC。解析：条件中有共点且相等的边AE...
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