1 二〇〇五年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案 一、选择题 1.使关于x的不等式≥k 有解的实数k 的最大值是( ) A. B. C. D. 2.空间四点A、B、C、D,满足 、 、、,则 的取值( ) A.只有一个 B.有两个 C.有四个 D.有无穷多个 3.△ABC 内接于单位圆,三个内角A、B、C 的平分线交此圆于A1、B1、C1三点,则的值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.如图,ABCD-A′B′C′D′为正方体,任作平面 α 与对角线AC′垂直,使α 与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l,则( ) A.S是定值,l不是定值 B.S不是定值,l是定值 C.S、l均是定值 D.S、l均不是定值 5.方程表示的曲线是( ) 2 A.焦点在x 轴上的椭圆 B.焦点在x 轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 6.记集合T={0,1,2,3,4,5,6},,将M中的元素按从大到小顺序排列,则第2005个数是( ) A. B. C. D. 二、填空题 7.将多项式f(x)=1-x+x2-x3+„-x19+x20表示为关于y的多项式g(y)=a0+a1y+a2y2+„+a19y19+a20y20,且y=x-4,则a0+a1+„+a20=__________. 8.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1)<f(3a2-4a+1)成立,则实数a 的取值范围是_____________. 9.设α 、β 、γ 满足0<α <β <γ <2π ,若对任意x∈R,cos(x+α )+cos(x+β )+cos(x+γ )=0 成立,则γ -α =___________. 10.如图,四面体DABC的体积为,∠ACB=45°,,则CD=_________. 11.正方形 ABCD的一条边在直线y=2x-17上,另外两顶点在y=x2上,则正方形面积的最小值为_____________. 3 12.若自然数a的各位数字之和为7,则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列:a1、a2、a3„,若an=2005,则a5n=______. 三、解答题 13.数列{an}满足 a0=1,,n∈N,证明:(1)对于任意 n∈N,a为整数;(2)对于任意 n∈N,anan+1-1为完全平方数. 14.将编号为1、2、3、„、9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各一个小球,设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S,求值 S达到最小值的方法的概率(若某种方法,经旋转或镜面反射可与另一种方法重合,则认为是相同方法). 15.过抛物线 y=x2一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D,交 y轴于 B,C在抛物线上,E在线段 AC上, ,F在线段 BC上,,且 λ1+λ2=1,线段 CD与 EF交于 P,当 C在抛物线上移动时,求 P...