1 二〇〇五年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案 一、选择题 1.使关于x的不等式≥k 有解的实数k 的最大值是（ ） A. B. C. D. 2.空间四点A、B、C、D，满足 、 、、，则 的取值（ ） A.只有一个 B.有两个 C.有四个 D.有无穷多个 3.△ABC 内接于单位圆，三个内角A、B、C 的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.如图，ABCD－A′B′C′D′为正方体，任作平面 α 与对角线AC′垂直，使α 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 S，周长为 l，则（ ） A.S是定值，l不是定值 B.S不是定值，l是定值 C.S、l均是定值 D.S、l均不是定值 5.方程表示的曲线是（ ） 2 A.焦点在x 轴上的椭圆 B.焦点在x 轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 6.记集合T={0,1,2,3,4,5,6}，，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7.将多项式f(x)=1-x+x2-x3+„-x19+x20表示为关于y的多项式g(y)=a0+a1y+a2y2+„+a19y19+a20y20，且y=x-4，则a0+a1+„+a20=__________. 8.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)＜f(3a2-4a+1)成立，则实数a 的取值范围是_____________. 9.设α 、β 、γ 满足0＜α ＜β ＜γ ＜2π ，若对任意x∈R，cos(x+α )+cos(x+β )+cos(x+γ )=0 成立，则γ -α =___________. 10.如图，四面体DABC的体积为，∠ACB=45°，，则CD=_________. 11.正方形 ABCD的一条边在直线y=2x-17上，另外两顶点在y=x2上，则正方形面积的最小值为_____________. 3 12.若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3„，若an=2005，则a5n=______. 三、解答题 13.数列{an}满足 a0=1，，n∈N，证明：(1)对于任意 n∈N，a为整数；(2)对于任意 n∈N，anan+1-1为完全平方数. 14.将编号为1、2、3、„、9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值 S达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）. 15.过抛物线 y=x2一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D，交 y轴于 B，C在抛物线上，E在线段 AC上， ，F在线段 BC上，，且 λ1+λ2=1，线段 CD与 EF交于 P，当 C在抛物线上移动时，求 P...
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