1982 年全国统一高考数学试卷（理科） 一、填空题（共 1 小题，每小题 6 分，满分 6 分） 1．（6 分）填表： 二、解答题（共 9 小题，满分 94 分） 2．（4 分）求（﹣1+i）20 展开式中第 15 项的数值； 3．（5 分）求的导数． 4．（9 分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形． （1）； （2）． 5．（12 分）已知圆锥体的底面半径为 R，高为 H 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）． 6．（14 分）设 0＜x＜1，a＞0，a≠ 1，比较|loga（1﹣x）|与|loga（1+x）|的大小（要写出比较过程）． 7．（16 分）如图，已知锐角∠ AOB=2α 内有动点P，PM⊥ OA，PN⊥ OB，且四边形PMON 的面积等于常数c2，今以O 为极点，∠ AOB 的角平分线OX 为极轴，求动点P 的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线． 8．（16 分）已知空间四边形ABCD 中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q 分别是边AB，BC，CD，DA 的中点（如图）求证MNPQ 是一个矩形． 9．（18 分）抛物线y 2=2px 的内接三角形有两边与抛物线x 2=2qy 相切，证明这个三角形的第三边也与x 2=2qy 相切． 10．已知数列 a1，a2，…an，…和数列 b1，b2，…，bn…，其中a1=p，b1=q，an=pan﹣1，bn=qan﹣1+rbn﹣1（n≥ 2），（p，q，r 是已知常数，且q≠ 0，p＞r＞0），用 p，q，r，n 表示bn，并用数学归纳法加以证明． 1982 年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（共 1 小题，每小题6 分，满分 6 分） 1．（6 分）填表： 考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 压轴题． 分析： 分别按各自函数的定义和性质直接填空即可． 解答： 解：由题意依据函数的定义和性质，直接填表： 点评： 本题考查各类函数的定义和性质，是基础题，考查基础知识的记忆． 二、解答题（共 9 小题，满分 94 分） 2．（4 分）求（﹣1+i）20 展开式中第 15 项的数值； 考点： 二项式定理． 专题： 计算题． 分析： 利用二项展开式的通项公式求出第 15 项，利用虚数单位的平方为﹣1 及组合数公式化简此项． 解答： 解：第15 项T15=C2014（﹣1）6（i）14=﹣C206=﹣38760． 点评： 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 3．（5 分）求的导数． 考点： 导数的运算． 专题： 计算题． 分析： 利用复合函数的求导公式[u（v）]'=[...
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