International Mathematical Oly mpiad 1st 第一届（1959 年） 罗马尼亚 布拉索夫（Braş ov，Romania） 1. 求证314421nn 对每个自然数 n 都是最简分数。（波兰） 2. 设Axxxx1212，试在以下3 种情况下分别求出x 的实数解： a)2A；b)A=1；c)A=2。（罗马尼亚） 3. a、b、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程 0coscos2cxbxa 试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。（匈牙利） 4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。（匈牙利） 5. 在线段 AB 上任意选取一点 M，在AB 的同一侧分别以 AM、MB 为底作正方形 AMCD、 MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P、Q，设这两个外接圆又交于 M、N。 a) 求证：AF、BC 相交于 N 点； b) 求证：不论点 M 如何选取，直线 MN 都通过定点 S； c) 当 M 在A 与 B 之间变动时，求线段 PQ 的中点的轨迹。（罗马尼亚） 6. 两个平面 P、Q 的公共边为 p，A 为 P 上给定一点，C 为 Q 上给定一点，并且这两点都不在直线 p 上。试作一等腰梯形 ABCD（AB 平行于 CD），使得它有一个内切圆，并且顶点 B、D 分别落在平面 P 和 Q 上。（捷克斯洛伐克） 第二届（1960 年） 罗马尼亚 锡纳亚（Sinaia，Romania） 1. 找出所有具有下列性质的三位数N：N 能被11 整除且商等于 N 的各位数字的平方和。（保加利亚） 2. 寻找使下式成 立 的实数x：（匈牙利） 92211422xxx 3. 直角三角形 ABC 的斜边 BC 的长 为 a，将 它分成 n 等份 （n 为奇 数），令 α 为从 A 点向 中间的那 一小 段线段所张 的锐 角，从 A 到 BC 边的高 长 为 h，求证：（罗马尼亚） International Mathematical Oly mpiad 2nd annh14tan2 4. 已知从A、B 两点引出的高线长ha、hb 以及从 A 引出的中线长ma，求作三角形ABC。（匈牙利） 5. 正方体ABCD-A'B'C'D'（上底面 ABCD，下底面 A'B'C'D'）。X 是对角线AC 上任意一点，Y 是B'D'上任意一点。 a) 求XY 中点的轨迹； b) 求a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ 的点Z 的轨迹。（捷克斯洛伐克） 6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在...
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