07空间向量与立体几何大题专项练习VIP专享VIP免费

专题1 7 空间向量与立体几何大题专项练习 一、巩固基础知识 1 ．如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a ，点 M 、 N 分别是 AB 、CD 的中点。 (1 )求证：ABMN ，CDMN ； (2 )求 MN 的长； (3 )求异面直线 AN 与CM 夹角的余弦值。 【解析】(1 )由题意可知三棱锥 ABCD 为正四面体， 过 A做底面 BCD 的垂线，垂足为O ，连接 BN ，则O 在 BN 上， 过O 做直线CDPQ //，分别交 BC 、 BD 于 P 、Q 两点， 则OP 、ON 、OA 相互垂足，以O 为原点，OP 为 x 轴，ON 为 y 轴，OA 为 z 轴，建系， 则)000(，，O，)3600(aA，，，)0330(，，aB，)0632(，， aaC，)0632(，， aaD ， )66630(aaM，，，)0630(，， aN， 则)66330(aaMN，，，)36330(aaAB，，，)00(，，aCD， 033)36()66()33(330022aaaaaaABMN， 学 习奥数的优点 1 、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2 、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要 使 经 过 奥 数 训 练的 学 生 ，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3 、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4 、获得扎实的数学基本 功，发挥 创 新 精 神 和创 造 力的最 大空间。 00)66(033)(0aaaCDMN，∴ABMN ，CDMN ； (2)2263)66()33(||2222aaaaaMN； (3))36630(aaAN，，，)66332(aaaCM，，， ||||cosCMANCMANCMAN， 32)66()33()2()36()63(66)36()33(63022222aaaaaaaaa， 从而异面直线 AN 与CM 夹角的余弦值为 32 。 2．如图所示，在三棱锥BCDA 中，ABC和 BCD所在平面互相垂直，且4 BDBC，24AC， 34CD，45ACB，E 、 F 分别为 AC 、 DC 的中点。 (1)求证：平面ABD平面 BCD ； (2)求二面角CBFE的正弦值。 【解析】(1)证明：由4BC， 24AC，45ACB，则：445cos2442)24(422AB， ∴222ABBCAC，则90ABC，BCAB ， 又平面ABC平面 BCD ，平面ABC平面BCBCD ，AB平面 ABC ， ∴AB平面 BCD ，又AB平面 ABD ，故平面ABD平面 BCD ； (2...