2023届高考数学二轮复习导数专讲：指对数不等式综合VIP专享VIP免费

第11 讲� 指对数不等式综合�知识与方法 由lnx 与ex 的导数的特点,解题时往往把lnx 的系数变成常数,而指数型则可直接求导.常见的指对数不等式放缩有1e1,ee ee ,ln1,lnln1eexxxxxxxx xx . 典型例题 【例1】当0x 时,22lnx x axa恒成立,求实数a 的取值范围. 【分析】由于直接作差求导,导函数零点很难求,所以需要变形,常见的变形是将lnx 单独出现,故已知条件两边除以x 后,构造函数可证. 【解析】原不等式2lnx axax,令 2lnf xxaxax, 由 210faa  ,得0a ,  221212a xxaafxaxaxx, 所以 f x 在10,a上递减,在1 ,a上递增, 所以min11( )ln3 0f xfaa,解得3e ,0a . 【点睛】在不等式关系中,将原不等式变形是常见的方法,变形原则是变形后的新函数的导函数变得简单,易判断单调性. 【例2】是否存在正整数m，当x（0，十∞）时，2e1nxmxxx一恒成立？若存在，求出m 的最大值;若不存在,说明理由. 【分析】先由特殊值得到整数m 的范围,再把lnx 的系数变成常数求解. 【解析】当1x 时,em,因为m 是正整数,所以1m  或2m . 下面证明2m 满足题意. 当0,x时,22e2eln2ln0xxxxxxxx. 令 2e2lnxf xxxx,则 24232eee212xxxxxxxfxxxxx, 易证e0xx,所以 f x 在0,2 上单调递减,在2, 上单调递增, 所以 23mine31e( )2ln2 1ln2ln044416f xf , 所以当2m 时,原不等式恒成立,所以m 的最大值为2. 【点睛】(1)先两边除以2x ,孤立lnx ,再构造函数可证;(2)若采用变量分离,则得elnxmx xx ,难以处理;整数解最值问题常见的解决方法先取特殊值求必要条件,再验证某一个整数符合条件即可. 【例3】当1x 时,1 ln10xxa x恒成立,求实数a 的取值范围. 【分析】直接求导,导函数零点不容易求,故需要变形,不等式两边除以1x  孤立lnx 后,构造函数可证. 【解析】方法一当1x 时,11 ln10ln01a xxxa xxx,令 1ln1a xfxxx,则 10f,且 2222 1112(1)(1)xa xafxxxx x, (1)当2a时,222 11210xa xxx...