专题 21 等腰三角形的存在性破解策略以线段 AB为边的等腰三角形构造方法如图1 所示：等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B 为圆心、 AB长为半径的圆上（不与线段AB共线）．解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算．如图 2，若 AB＝AC，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，则 BD＝CD，∠ BAD＝∠ CAD，从而利用锐 角三角函数、相似三角形等知识解决问题．（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．有时候将几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．例题讲解例 1如图，正方形ABCD的边长是 16，点 E 在 AB边上， AE＝3，F 是 BC边上不与 B，C重合的一个动点，把△EBF沿 EF折叠，点 B落在 B′ 处．若△ CDB′ 恰为等腰三角形，则DB′＝．解 16或 45①如图 1，当 CB′ ＝ CD时，点 F 与点 C重合，不符合题意，舍去；②如图 2，当 DB′ ＝ CD时， DB′ ＝ 16；③如图 3，当 DB′ ＝ B′C时，过点 B 作 GH∥AD，交 AB于点 G，交 CD于点 H．显然 G， H分别为 AB，CD的中点．由题意可得B′E＝13，DH＝BG＝ 8，所以 EG＝5，从而 B′G＝22BEEG′－＝12，B′H＝4，所以 DB′ ＝22B HDH－＝45 ．AB图 1 ABCD图 2 A B C D E F B′2②如图 2 所示：当 DB′ ＝ CD时，则 DB′ ＝ 16（易知点 F在 BC上且不与点C、B 重合）．图 2 ③如图 3 所示：当 B′D＝B′ C时，过 B′ 点作 GH∥AD，则∠ B′GE＝90° ．图 3 当 B′C＝B′D时， AG＝DH＝ 12DC＝8．由 AE＝3，AB＝16，得 BE＝13．由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．∴EG＝AG－AE＝8－3＝5，∴B′G＝22'12B EEG，∴B′H＝GH－B′G＝16－12＝4，∴DB′ ＝22'4 5B HDH例 2 如图，在△ ABC中，∠ ACB＝90° ， AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点 B 出发沿 BA方向向点 A匀速运动，同时点 Q由点 A出发沿 AC方向向点 C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连图 1 A B C D E B′(F)3接 PQ，设运动时间为t （s）（0＜t ＜4），解：如图，过点P 作 PH⊥AC于 H， ∠ C＝90° ，∴ AC⊥BC，∴PH∥BC，∴△ APH∽△ ABC，∴ PHBC＝ APAB， AC＝4cm， BC＝3cm，∴AB＝5cm，∴3PH ＝ 5tt∴PH＝3﹣ 35t ，A...
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