球的内切和外接VIP专享VIP免费

常见几何体的内切、外接球二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个。一、球体的体积与表面积343VR球①24SR球面②多面体的外接球多面体的内切球棱切：一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。图3图4图5①若球为正方体的外接球a32R若球为正方体的内切球，则2R=a③若球与正方体的各棱相切，则a22R1.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球②若球为正方体的内切球，则③若球与正方体的各棱相切，则知识拓展2R=aa22Ra32R中截面设棱长为1214=SR甲球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1O甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为()A.1:2:3B.C.D.1:2:31:8:27331:4:9球与棱柱的组合体问题ABCDD1C1B1A1O中截面正方形的对角线等于球的直径。224=2SR乙.球内切于正方体的棱设棱长为1ABCDD1C1A1OB1A1AC1CO对角面223R球的内接正方体的对角线等于球直径。234=3SR丙球外接于正方体设棱长为1(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.a2＋b2＋c2一、直接法27变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为.43A1AC1CO1、求正方体的外接球的有关问题例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.2、求长方体的外接球的有关问题例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为，故球的表面积为.1414变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）A.B.C.D.16202432CACBPO二、构造法构造正方体(长方体）例3、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是39练习：（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D，则球O的体积等于3,BCABDABCABABCDA，平面DACBO图429ABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径例4、求棱长为a的正四面体D–ABC的外接球的表面积。变式题：1、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.B.C.D.234336A例4（通用通法）求棱长为1的正四面体外接球的体积．.86463434,463332,32311,33,,3322212121111RVRRRAOORtAOSASOrABCrAORSOOABCDSSO球，解得中，由勾股定理得，在从而识得，中，用解直角三角形知则在上，设外接球半径为在的高，外接球的球心是正四面体解：设练习正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为.2CDABSO1图3解设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为O，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得又，∴球心O必在所在的直线上.∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由是外接圆的半径，也是外接球的半径.故1OABCDOO平面11SOASCASC12..,2,2222ACRtACASCACSCSAACSCSA为斜边的是以得34球VABCDSO平面12三、确定球心位置法例5：已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2正方形.若PA=2,则△OAB的面积为______________.练习1：设正三棱柱的高为2，底面边长为3，求正三棱柱外接球表面积。三、确定球心位置法练习2：在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为()12125.A9125.B6125.C3125.DCAODB图4Ｃ四、公式法例6：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积...