1、不等式的性质高中数学选修4—51.1实数大小比较——作差法、作商法1、作差判断两个实数大小的充要条件：对于任意两个实数a、b，a>bab>0；由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了.a=bab=0；a0，b>0时.abaaa=b.a1bba>b；=11.2不等式的基本性质由两个实数大小关系的基本事实，得出不等式的基本性质:abbabaababba即那么如果那么如果.,;,)1(cacbbacacbba,.,,)2(即那么如果.,)3(cbcaba那么如果对称性传递性加法法则.,0,;,0,)4(bcaccbabcaccba那么如果那么如果).2,(,0)5(nNnbabann那么如果).2,(,0)6(nNnbabann那么如果乘法法则乘方法则开方法则不等式基本性质(1),.abcacb如果那么(2),,.abcdacbd如果那么(同向不等式相加)利用不等式的基本性质还可以得到下列结论：(同向正数不等式相乘)(移项法则)＞（同号两数取倒数的反序性。）＞.,0,0bdacdcba那么如果（3）＜(4)1abab0a如果，则1b绝对值不等式1、绝对值的几何意义实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：OaAx|a|xABab|a-b|任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。联系绝对值的几何意义，研究|a|+|b|,|a+b|之间的大小关系：分ab>0、ab<0和ab=0三种情形讨论：（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|Obaxa+b如果a<0,b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：|a+b|=|a|+|b|定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立。探究如果把定理1中的实数a,b分别换成向量a,b,能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？ababOxy探究当向量a,b共线时，有怎样的结论？这个不等式称为绝对值三角不等式。探究你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？|a-b|≤|a|+|b|,|a|-|b|≤|a+b|,|a|-|b|≤|a-b|.如果a,b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|什么时候等号成立？定理2如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。yxDyxCyxBmymx.2.2.y-xA.)(,,:的是下列不等式中一定成立若例B例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。:12,,,)ABD1,1,2A2B2C2DAxamxamxymxyamRCabababababababababa补充练习、“且”是“”（的、充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件2、设则与的大小关系是、、<、、不可能比较大小3、如果a,b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是、B(0)C+D2bababababbaababab、2、、:4ab,,,,()A.mnB.mnC.mnD.mnababmnmnabab补充练习、已知则之间的大小关系是D25,coscoscoscos,(,),2(coscos)()A.cosx-cosyB.cosxcos.coscos.coscosxyxyxyxxyyCyxDyx、如果实数满足且则可写成D2612.mabxmabxx、设等于、和中最大的一个，当时，求证：
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