几何体的内切与外接球曲江一中高三数学组【小专题】01几何体中的外接球与内切球•高考题与高三训练题，流行出球的相关问题。在高考中，对空间几何体的考查常常与球结合，以几何体的外接球和内切球为载体，考查几何体的三视图，柱、锥、台、球的体积与表面积的计算，考查考生的空间想象能力。有时采用割补法或转化为平面几何问题解答，也可能与正、余弦定理、基本不等式等知识相结合进行考查。为了比较彻底全面掌握几何体与球的相关问题，特补充此专题内容。•外接球：在考查几何体的外接球时，常常以正方体、长方体、三棱锥为基本模型。•内切球：空间几何体的内切球问题，常常转化为球心到平面的距离为球的半径解答。•有很多题涉及到了几何体的内切及外接球问题，同学们在研究空间几何体的外接球与内切球时，常常因缺乏空间想象能力而感到束手无策，对这类问题的处理能力非常薄弱，不得要领。很多同学按照思维定式试图画出图形来观察，结果陷入误区：要画出比较直观的立体图形是难上加难。事实上，如果抓住要领，不画球就能解决所有问题------无需画出球体，只需找出球心和半径即可；或者画出球的大圆，转化为平面几何问题。•解决这类问题的关键，是找出球的半径与几何体的基本量的联系，即半径等于什么？从这个意义上来说，是不必画出球，只要能找出球心的位置，及切点（或接点）的位置，连线即为半径！因而，我们在处理这类问题时，只画几何体，并给自己三个提问：1、球在几何体的什么位置上？2、切点（或接点）在几何内的什么位置上？3、半径怎么求？这三个问题的解决，是求解这类问题的通法。•在处理与球有关的问题时，注意这几个核心点：•1、两个公式；两个重要数据；•2、球的特殊对称性；•3、球的最大截面圆的圆心即为球心；•4、截面圆的圆心与球心的连线⊥截面圆所在的平面；•5、球面上任意两点的连线段的中垂面必过球心；•6、球面距：过球心且过此两点的截面圆的劣弧长。先观摩一下正方体各棱与球相切的3D动画然后再来看看带直径的图形随后是解法的图形。可以一目了然球的直径与正方体边长的关系。下图是改进版的，看得更清楚，哪条线是直径？最后，给大家全方位旋转看看或透视图下形象观察，以加强验证。【典例演练】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，确定基础三角形可使这类问题迎刃而解。观察三维模型注意截面、球的直径、棱之间的关系（相交的截面），转化为平面来建立关系来解题。【几何体与球关系】【球与正方体关系模型】一、正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为切点。正方体的中心即为球心。相对两个面中心连线即为球的直径。球叫做“正方体的内切球”，正方体叫做“球的外切正方体”。球的直径等于正方体棱长。二、球与正方体的棱相切球与正方体的12条棱都相切，各棱的中点即为切点。正方体中心即为球心。“对棱”中点连线即为球的直径。球的直径等于正方体一个面上的对角线长三、正方体的外接球正方体的8个顶点在同一个球面上。正方体的中心即为球心。球叫做“正方体的外接球”，正方体叫做“球的内接正方体”。正方体的（体）对角线等于球直径正四面体与内切球关系模型正四面体与内切球关系模型（框架）【正四面体与球关系】正四面体与外接球关系模型（框架）正四面体与外接球关系模型几何体的外接球与内切球解题一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键！（一）由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。简单多面体外接球的球心有如下结论：结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点。结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。结...
