13.4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 1． 最 短 路 径 问 题 (1)求 直 线 异 侧 的 两 点 与 直 线 上 一点 所连线 段的 和最 小的 问 题 ，只要连接这两 点 ，与 直 线 的 交点 即为所求 ． 如 图 所 示 ， 点 A， B 分 别 是 直 线 l 异 侧 的 两 个 点 ， 在 l 上 找 一个点 C， 使 CA＋ CB 最 短 ， 这 时 点 C 是 直 线 l 与 AB 的 交 点 ． (2)求 直 线 同侧 的 两 点 与 直 线 上 一点 所连线 段的 和最 小的 问 题 ，只要找到其中一个点 关于这条直 线 的 对称点 ，连接对称点 与 另一个点 ，则与 该直 线 的 交点 即为所求 ． 如 图 所 示 ， 点 A， B 分 别 是 直 线 l 同 侧 的 两 个 点 ， 在 l 上 找 一个点 C， 使 CA＋ CB 最 短 ， 这 时 先 作 点 B 关 于 直 线 l 的 对 称 点 B′， 则 点C 是 直 线 l 与 AB′的 交 点 ． 为 了 证 明 点C 的 位 置 即 为 所 求 ， 我 们 不 妨 在 直 线 上 另 外 任 取 一点 C′， 连 接 AC′， BC′， B′C′， 证 明 AC＋ CB＜ AC′＋ C′B.如 下 ： 证 明 ： 由 作 图 可 知 ， 点 B 和 B′关 于 直 线 l 对 称 ， 所 以 直 线 l 是 线 段 BB′的 垂 直 平 分 线 ． 因 为 点 C 与 C′在 直 线 l 上 ， 所 以 BC＝ B′C， BC′＝ B′C′. 在 △AB′C′中 ， AB′＜ AC′＋ B′C′， 所 以 AC＋ B′C＜ AC′＋ B′C′， 所 以 AC＋ BC＜ AC′＋ C′B. 【例 1】 在 图 中 直 线 l 上 找到一 点 M， 使它到 A， B 两点 的 距离和 最小． 分析：先确定其中 一 个点 关 于 直 线 l 的 对 称 点 ， 然后连 接 对 称 点和 另 一 个点 ， 与 直 线 l 的 交点 M 即 为 所 求 的 点 ． 解：如 图 所 示： (1)作 点 B 关 于 直 线 l 的 对 称 点 B′； (2)连 接 AB′交直 线 l 于 点 M. (3)则点 M 即 为 所 求 的 点 ． 点 拨： 运用轴对 称 变换及性质将不 在 一 条直 线 上 的 两条线 段 转化到 一 条 直 线 上 ， 然 后 用 “两点之间线 段最短”解决问题. 2....
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