第6 讲 利用换元法解方程 一、方法技巧 （一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的. （二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程. 解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次. （三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径． 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等． 例如：① 256011xxxx ，可使用局部换元法，设1xyx ②22110xxxx，变形后也可使用局部换元法，设1xtx ③222212219116xxxxxxx，看着很繁冗，变形整理成222211191116xxxxxx 时，就可使用局部换元法. ④443182xx，可设 3122xxyx，方程变成441182yy，使方程变得易解，这是均值换元法. ⑤4326538560xxxx，符合与中间项等距离的项的系数相等， 如46x 与6 ，35x 与5x 系数相等，可构造1xx换元，是倒数换元法. ⑥322 33310xxx ，不易求解，若反过来看，把设 x 看作已知数，把 3 设为设t ，则方程就变成 2232110x txtx ， 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法. 有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的. 例如： 222222223232321321451xxxxxxxxxx观察发现 22232321451xxxxxx ，故可设232xxu，2321xxv ，原方程变为222uuvvuv，方程由繁变简，可得解. （四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和研究数学的兴趣. 二、应用举例 类型一 局部换元 （高次方程） 【例题1】解方程：42320xx 【答案】11x ，21x ，32x ，42x 【解析】 试题分析： 通过观察发现 242xx，故设2xy，原方程变形为2320yy，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程. 试题解析： 解：设2xy，则原方程变形为2320yy， 解得，11y ，22y ...
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