数学竞赛中的立体几何问题 立 体 几 何 作 为 高 中 数 学 的 重 要 组 成 部 分 之 一 ， 当 然 也 是 每 年 的 全 国 联 赛 的 必 然 考 查 内 容 ． 解 法 灵 活 而备 受 人 们 的 青 睐 ， 竞 赛 数 学 当 中 的 立 几 题 往 往 会 以 中 等 难 度 试 题 的 形 式 出 现 在 一 试 中 ， 考 查 的 内 容 常 会 涉及 角 、 距 离 、 体 积 等 计 算 ． 解 决 这 些 问 题 常 会 用 到 转 化 、 分 割 与 补 形 等 重 要 的 数 学 思 想 方 法 ． 一、求角度 这类题常以多面体或旋转体为依托,考查立体几何中的异面直线所成角、直线与平面所成角或二面角的大小 解决这类题的关键是 ,根据已知条件准确地找出或作出要求的角． 立 体 几 何 中 的 角 包 括 异 面 直 线 所 成 的 角 、 直 线 与 平 面 所 成 的 角 、 二 面 角 三 种 ． 其 中 两 条 异 面 直 线 所 成的 角 通 过 作 两 条 异 面 直 线 的 平 行 线 找 到 表 示 异 面 直 线 所 成 角 的 相 交 直 线 所 成 的 角 ， 再 构 造 一 个 包 含 该 角 的三 角 形 ， 解 三 角 形 即 可 以 完 成 ； 直 线 和 平 面 所 成 的 角 则 要 首 先 找 到 直 线 在 平 面 内 的 射 影 ， 一 般 来 讲 也 可 以通 过 解 直 角 三 角 形 的 办 法 得 到 ， 其 角 度 范 围 是 0 ,90 ； 二 面 角 在 求 解 的 过 程 当 中 一 般 要 先 找 到 二 面 角 的平 面 角 ， 三 种 方 法 ： ①作 棱 的 垂 面 和 两 个 半 平 面 相 交 ； ② 过 棱 上 任 意 一 点 分 别 于 两 个 半 平 面 内 引 棱 的 垂 线 ；③ 根 据 三 垂 线 定 理 或 逆 定 理 ． 另 外 还 可 以 根 据 面 积 射 影 定 理cosSS 得 到 ． 式 中 S 表 示 射 影 多 边 形 的面 积 ， S 表 示 原 多 边 形 的 面 积 ， 即 为 所 求 二 面 角 ． 例１ 直线OA 和平面 斜交于一点O ，OB 是OA 在 内的射影，OC 是平面 内过O 点的任一直线，设,,.AOCAOBBOC...
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