圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)VIP专享VIP免费

1 圆锥曲线间的三个统一 内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学 0 5 0 4 班 高卓玮 指导老师：薛红梅 世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。 一、四种圆锥曲线的统一定义 动点 P 到定点 F 的距离到定直线 L 的距离之比等于常数 e，则当 01e 时，动点 P 的轨迹是椭圆：当1e 时，动点 P 的轨迹是抛物线；当1e 时，动点 P的轨迹是双曲线；若0e ，我们规定直线 L 在无穷远处且 P 与 F 的距离为定值（非零），则此时动点 P 的轨迹是圆，同时我们称 e 为圆锥曲线的离心率，F 为焦点，L 为准线。 二、四种圆锥曲线的统一方程 从第 1 点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为 p ，则2bpa。 如图 1，将椭圆22221(0)xyabab按向量（ , 0a）平移 得到2222()1xayab ∴222222bbyxxaa 椭圆的半通径211||bF Mpa，2221bea ∴椭圆的方程可写成 2222(1)ypxex ( 01 )e 类似的，如图2，将双曲线22221(0,0)xyabab按向量(, 0)a平移得到 2222()1xayab ∴222222bbyxxaa 2 双曲线的半通径222|| bF Ma，2221bea ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)ypxexe 对于抛物线22(0)ypx xP 为半通径，离心率1e ，它也可写成 2222(1)(1)ypxexe 对于圆心在（P，0），半径为 P 的圆，其方程为222()xpyp，它也可写成2222(1)(0)ypxexe 于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)ypxex，其中 P 是曲线的半通径长，当0e ，01e ，1,1ee时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。 三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式 在同一坐标系下，作出方程2222(1)ypxex所表示的四种圆锥曲线，如图 3，设 P、B、A、C 分别是圆的圆心，椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一记为2222(1)ypxex的焦点F 则有222(1)(1)11caa ePOCcaeacee (1)21ppO Aee，222(1)(01)11acaepOBaceacee (0)1pO Ppee 即 方 程2222(1 )yp xex所 表 示 的四 种 圆 锥 曲线的一 个 焦 点 为(, 0)1...