求轨迹方程 - 1 专题 圆锥曲线（求轨迹方程） 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系或 F(x，y)＝0； (2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (3)代入转移法（相关点法）：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程． 1．一个区别——“轨迹方程”与“轨迹” “求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的．前者只须求出轨迹的方程，标出变量 x，y 的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据． 2．双向检验——求轨迹方程的注意点 求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完 备 性与纯 粹 性 ”的影 响 ． 考向一 直接法求轨迹方程 【例 1】 已知动点 P(x，y)与两定点 M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数 λ(λ≠0)． (1)求动点 P 的轨迹C 的方程； (2)试根据 λ的取值情况讨论轨迹C 的形状． 【解】 (1)由题 意可知，直线 PM 与 PN 的斜 率 均 存 在且均 不为 零 ，所 以 kPM·kPN＝ yx＋ 1·yx－ 1＝λ，整 理 得 x2－ y2λ ＝1(λ≠0，x≠± 1)．即 动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2－ y2λ ＝1(λ≠0，x≠± 1)． (2)①当 λ＞0 时，轨迹 C 为 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－ 1＜λ＜0 时，轨迹 C 为 中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； ③当 λ＝－ 1 时，轨迹 C 为 以 原点为 圆心，1 为 半径的圆除去点(－ 1,0)，(1,0)． ④当 λ＜－ 1 时，轨迹 C 为 中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 【对点练习 1】已知 A，B 为平面内两定点，过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线，垂足为 N.若MN→2＝λAN→·NB→，其中 λ 为常数，则动点 M 的轨迹不可能是( ) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【解析】以 AB 所 在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴，建立坐标系，设 M(x，y)，A(－ a,0)，B(a,0)，则 N(x,0)．因为 MN→2＝λAN...
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