. . 1A1B1C1DABCDEFG线线角、线面角、二面角的求法1.空间向量的直 角坐标运算律：⑴两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是1 122330aba ba ba brr⑵两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是a ·b =±|a ||b |2.向量的数量积公式若 a 与 b 的夹角为θ (0≤θ ≤π),且123(,,)aa a ar，123( ,,)bb b br,则（1）点乘公式：a ·b =| a||b | cosθ（2）模长公式：则222123||aa aaaarr r，222123||bb bbbbrr r（3）夹角公式：1 12233222222123123cos|| ||a ba ba ba ba babaaabbbr rr rrr（4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z，222(,,)B xy z，则2222212121||()()()ABABxxyyzzuuuruuur，222,212121()()()A Bdxxyyzz①两条异面直线 a、 b 间夹角0,2在直线 a上取两点 A、B，在直线 b 上取两点 C、D，若直线 a与 b 的夹角为，则 cos| cos,|AB CDuuur uuurCDABCDAB。例 1 (福建卷 )如图，长方体ABCD— A1B1C1D1中， AA1= AB=2 ，AD=1 ，点 E、F、G 分别是DD1、AB、CC1 的中点，则异面直线A1E 与 GF所成的角是（）A．515arccosB．4. . PBCAC．510arccosD．2（向量法，传统法）例2 (2005年 全 国 高 考 天 津 卷 ) 如 图 ， PA平 面 ABC ，90ACB且PAACBCa ，则异面直线PB与 AC 所成角的正切值等于_____．解：（ 1）向量法（2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCAD B C P ， PB 与 AC 所成的角的大小 即 此 正 方 体 主 对 角 线 PB 与 棱 BD 所 成 角 的 大 小 ， 在Rt △ PDB中 ， 即tan2PDDBADB．故填2 ．点评 ：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCAD B C P②直线 a与平面所成的角0,2(重点讲述平行与垂直的证明) 可转化成用向量a 与平面的法向量 n 的夹角表示，由向量平移得：若2时2（图21）；若2时2（图31）. 平面的法向量 n 是向量的一个重要内容， 是求直线与平面所成角、 求点到平面距离的必备工具 .求平面法向量的一般步骤：nanana图 1－图 1－图 1－1D1B1CPDBCA. . (1)找出 (求出 )平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aa b cba b crr(2)设出平面的一个法向量为( , , )nx y zr(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (02)a(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。1. (线线角 ,线面角 ).在棱长为 a 的正方体''''ABCDA B C D 中，,E F 分别是'...
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