柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy) 在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,naa ab bc bd令，得二维形式22222bdacdcba等号成立条件：dcbabcad//扩展：2222222221231231 12233nnnnaaaabbbba ba ba ba b等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,iiiinniiabababababab in当或时，和 都等于 ，不考虑二维形式的证明：22222222222222222222222, , ,220=abcda b c dRa cb da db ca cabcdb da dabcdb cacbdadbcacbdadbcad bc等号在且仅在即时成立三角形式222222abcdacbdadbc等号成立条件：三角形式的证明：222111nnnkkkkkkkaba b22222222222222222222222222222222-2abcdabcdabcdabcdacbdaaccbbddacbdabcdacbd注： 表示绝对值两边开根号，得向量形式123123=,,,,,,,,2=nna aaab b bbnN nR，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：1231231 1223322222222123123222222221 12233123123=,,,,,,,,,cos,cos,cos,1nnnnnnnnnnma a aanb b bbm na ba ba ba bm nm naaaabbbbm nm naba ba ba baaaabbbburrLLur rur rur rLur rLLur rQLLL令一般形式211212nkkknkknkkbaba1122:::nniiabababab等号成立条件：，或、均为零。一般形式的证明：211212nkkknkknkkbaba证明：222222=/ 2=/ 2ijjiiijjjjiia ba bna ba ba ba bnLLLL不等式左边共项不等式右边共项用均值不等式容易证明，不等式左边不等式右边，得证。推广形式 (卡尔松不等式 )：卡尔松不等式表述为：在 m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素之积的几何平均之和。12121212121111111231111,mnnmmmnmmmmmmmmiiiiniiiixxxxxxxxxxxxxm nNLLLLL其中，或者 ：111111,mmmnnmijijjijiijxxm nNxR其中，，或者11221111nnnnnnxyxyxyxyxxyLLLLLL注：表示， ， ，x 的乘积，其余同理推广形式的证明：推广形式证法一：111222112112121212112112121212112,,+nnnnnnnnnnnnnnnnnnnAxyAxyAxyxxxxAAAx xxnA AAA...
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