学习数学，领悟数学，秒杀数学。极化恒等式例 1：（2014 年高考全国新课标II 卷文（理） 科第 4（3）题）设向量ba,满足6,10baba，则ba ?等于 （）A.1 B. 2 C. 3 D. 5 解：由极化恒等式，即得.14610422?bababa例 2: （2014 江苏）在平行四边形ABCD 中，已知,2,3,5,8? BPAPPDCPADAB则ADAB ?的值是 . 解:222?AEPEPBPA182PE8,3CDPDCP中位线为故FAEDPAEPD,4,240222222PEAEAFAP2222??PEAPADABAEAF例 3：.设点 P 是边长为 2 的△ ABC 三边上的一动点，则)(PCPBPA??的取值范围是解：如图，设BC 的中点为 D，则PDPCPB2,设 AD 的中点为 M ，则)41(2)(22ADPMPCPBPA?,显然，当 P 在 B 点时， PM 的值最大，此时2)(?PCPBPA；当ABPM时， PM 的值最小， 此时89)(?PCPBPA. 所以)(PCPBPA ?的取值范围是]2,89[. 例 4：正方形 ABCD-A1B 1C1D1 的棱长为 2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），p 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PNPM ?的最大值为解：设球心为O，球半径为R，则 R=2, 根据极化恒等式：4444222?PORPOPNPM又因为 P 为正方形表面上的动点，所以PO 的最大值为正方体体对角线长的一半，即3，所以PNPM ?的最大值为2 例 5：.△ABC 中，∠C=90,AC=4,BC=3,D 是 AB 的中点，E,F 分别是边 BC，AC 上的动点，且 EF=1，则DFDE ?的最小值等解：41422?EFDHDFDE（H 为 EF 的中点）。又因为22125,CHCDDHCDDHCH所以所以415414412?DHDFDE。一、求数量积的值1. （2016 年高考江苏卷第13 题）如图，在ABC 中， D 是 BC 的中点，FE,是 AD 的两个三等分点，1,4??CFBFCABA，则?CEBE . 2. （2012 年高考浙江卷理科第15 题）在ABC 中， M 是 BC 的中点，,10,3 BCAM则? ACAB . 3. （2011 年高考上海卷理科第11 题）在正ABC 中， D 是 BC 上的点，,1,3 BDAB则? ADAB . 4. （2015 年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11 题）在矩形 ABCD 中，,4,3 ADABP 为矩形 ABCD 所在平面上一点，满足,21,2 PCPA则? PDPB . 二、界定数量积的取值范围5. （2015 年郑州市高三第一次质量预测理科第11 题）在ABCRt中，NMCBCA,,3是斜边 AB上的两个动点，且,2MN则CNCM ?的取值范围为（）A.25,2 B. 4,2 C. 6,3 D. 6,4三、探求数量积的最值6. （2017 年高考全国II 卷理科第 12 题）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形...
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