1.两条异面直线所成的角【例 1】利用“平移法”求两条异面直线所成的角（2014·新课标Ⅱ）直三棱柱中，，、分别是、的中点，且，则异面直线与所成的角的余弦值为A． B． C． D．【解析 1】（几何法）取中点，连接、，由于 ,且，有，则即为异面直线与所成的角，设，且，则 ，因.【解析 2】（几何法）延长至，使得，连接, ，易证即为异面直线与所成的角，设，则，，，易求.【评注】传统的几何法求异面直线所成角一般采用“平移法”，即将一条线段平移后使两条线段的一个端点重合，这样就可化空间角为平面角，这个平面角就是两条异面直线所成的角或其补角，再将这个角置于三角形之中，通过解三角形，求出该角.注意异面直线所成的角的范围是 .【解析 3】（向量法）依题意可建立图示坐标系，设，则，，，，，，.【评注】该题条件便于建立恰当直角坐标系的条件，使向量坐标化，利用空间向量夹角公式即可求出向量的夹角的余弦值，进而得出异面直线所成的角的余弦值.【变式 1】（2015 浙江理）如图，三棱锥 ABCD中，3,2ABACBDCDADBC ，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是 ． 【解析 1】（几何法）如图，连接，取中点，连接、，则即为和所成角（或其补角），易得，，，.异面直线和所成的角的余弦值是.【评注】此法相当于平移，使重合，利用三角形的中位线性质将异面直线所成的角转化为平面角，再利用余弦定理求解.【解析 2】（向量法）易知，，，由，可得 ，即，，异面直线和所成的角的余弦值是.【评注】由于题干中没有明显建立恰当直角坐标系的条件，向量坐标化很难，只好基底化了.由于，四个向量的模均可求得，且二向量夹角为，因此，以向量为基底来表示向量，即可求出向量的夹角的余弦值，进而得出异面直线,AN CM 所成的角的余弦值.【变式 2】（沈阳市 2015 高三上学期期末） 在直三棱柱中，若，，，为中点，点为中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值 【解析 1】（几何法）如图，过作交于，连，∴为中点，， 又 ，∴，，，在中，，，∴．【评注】此法相当于平移，使重合，利用三角形的中位线、三角形相似等性质，化异面直线所成的角为平面角，再利用余弦定理求解.【解析 2】（几何法）如图，连接并延长交的延长线于，连接，易证，∴在中，就是异面直线与所成角，易求,,则,∴．【评注】此法相当于平移与相交，利用三角形的中位线、三角形相似等性质，化异面直线所...
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