4 点距离的计算方法 【例 1】 已知菱形中，，，沿对角线将折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于 【解析】 应用菱形的性质，设 AC 和 BD 的交点为 F 点，且，在三角形 ABC 中可得，，折叠前后仍在同一平面内的 位 置 ， 且，，，则平面，于是二面角的补角，设 O 为在面 ABD 上的射影，由面面垂直的性质定理，O 在 AF 上，则 ，为到所在平面的距离；［评注］点到面的距离常常经过点构建一个与已知面垂直的平面，点到面的距离转化为点在辅助面内到两平面的交线的距离，这是面面垂直的性质定理决定的，简称利用面面垂直直作点到面的距离【变式 1】正三棱柱中利用面面垂直性质定理直作点到面的距离 在正三棱柱111ABCA B C中，若 AB=2，1AA1 则点 A 到平面1A BC 的距离为 1.23 【解析】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，连接 A1D，过点 A 作AD⊥面 A1BC 于点 E，则点 E 在 A1D 上，AE 即为点 A 到平面1A BC 的距离。在 Rt△ACD 中，BAODCA11FAC=2 ， CD=1 ， ∴ AD=3 . 在 Rt△A1DA 中 ，1AA1 ， AD=3 ， ∴ tan∠A1DA=33。∴∠A1DA=300.在 Rt△ADE 中，AE=AD·sin300=23 .【 例 2 】 如 图 17 ， 在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ，AB=2,AD=1,A1A=1， 则直线 BC1到平面 D1AC 的距离为 .[解析] 易证，∴直线 BC1∥平面 DA1C；由（1）知 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离，设为：由，且中，，故 ∴，即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为．［评注］解决空间距离问题的思路就是转化：面面距→线面距→点面距，然后利用等积变换的方法求点面距．【变式 1】两种思维方法求解点到面的距离如图 (10)所示,四棱锥中, 为线段上的一点,平面平面若求三棱锥的高.ADBCSE ADBCSEFG1. 【 解 析 1 】 等 体 积 法 设 三 棱 锥的 高 为, 因 为可得,所以图(10)图(11)D1C1B1A1DCBA图 17,则可,所以,,由,得,代入数值得,所以.三棱锥的高为.【 解 析 2 】 辅 助 垂 面 法 如 图 (11) 所 示 , 作于, 连 接, 因 为,, 所 以, 又,所以,,所以,作于,则有,所以即为三棱锥的高.,因为可得,所以.【变式 2】折叠问题中两种方法求解点到面的距离 如图, 在直角梯形 ABCD 中，CDAB //，ADAB ，且121CDADAB．现以 AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ， 然 后 沿 边 AD 将 正 方 形 ...
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