高三数学 7 向量法求空间角试题1 利用向量求直线与平面所成的角 【例 4】（2015 届四川省南充市高三第一次高考适应）已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.设直线 C1N 与CNB1所成的角为，则的值为 .【解析】 该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形 则,,两 两 垂 直 . 以,,分别为,, 轴建立空间直角坐标系，则,,，， 设为 平 面的 一 个 法 向 量 ， 则 即，令，则。又则,从而.【评注】 由三视图确定几何体利用向量求线面角，要理清向量的夹角与空间角的关系，如：异面直线 PA 与 DE 所成的角的取值范围是(0，]，向量PA与DE所成的角〈PA，DE〉的取值范围是[0，π]，线面角 θ 的范围是[0，]，且 sin θ＝|cos〈PA，n〉|＝. 【变式 1】四棱柱中利用向量求线面角（2015 上海高考 19） 如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.因此直线1CD 与平面FECA11所成的角的大小为．【变式 2】四棱锥中利用向量求线面角（2015 厦门市高三上学期质检 ）如图，菱形的边长为，对角线交于点，.若，上一点满足，则直线与平面所成角的正弦值为 2. .【解析】 DE⊥平面 ABCD，OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，以 O 为原点 OA,OB,OF 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面 BCE 的法向量为，则取，则设直线 AF 和平面 BCE 所成的角为，则 sin=.2 利用向量求二面角 【例 5】（2015 陕西高考理）如图1，在直角梯形CD中，D// C，D2，C1 ，D2 ， 是D的中点， 是C与 的交点．将 沿 折起到1 的位置，如图2 ． （I）证明：CD 平面1 C ；（II）若平面1 平面CD ，求平面1 C 与平面1CD夹角的余弦值．【解析】（I）在图 1 中，因为 AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点， BAD= 2 ，所以 BE AC即在图 2 中，BE 1OA ，BE OC 从而 BE 平面1AOC又 CDBE，所以 CD 平面1AOC .(II) 由已知，平面1A BE 平面 BCDE，又由（1）知，BE 1OA ，BE OC所以1AOC为二面角1--CA BE的平面角，所以1OC2A.如图，以 O 为原点，建立空间直角坐标系，因为11...
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