例析抽象函数周期的求法抽象函数周期问题是近年来高考及各地模拟试题中高频出现的问题，其周期求法能有效考查学生的逻辑思维能力和代数推理能力，对培养学生思维品质大有帮助。下面举例说明求周期的常用方法及技巧。一、仅含抽象关系式的周期函数例 1 若存在常数 m>0，使函数 f(x)满足，则的一个正周期是____________。解：设，则，依题意有，由周期函数的定义，是的一个周期所以期例 2 已知函数满足，求证：函数为周期函数。证明：因为对有（2）代入（1）得这样所以为周期函数，且为它的一个周期。例 3 设函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意，有，且存在常数，使。试证：是周期函数，且有一个周期为 4a。证明：设，则所以 y=f(x)为周期函数，且有一个周期为 4a。说明：从以上几例可见，适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键。下面再给一个探求周期来计算函数值的例子。例 4 设是定义在 R 上的函数，且对任意，都有，又，求的值。解：又所以可知是以 2 为一个周期的周期函数所以二、图象中有两条对称轴的抽象函数例 5 若函数的图象关于两条直线和都对称，试证：是周期函数，且是它的一个周期。证明：因为的图象关于直线和（a所以且这样所以是周期函数，且是它的一个周期。例 6 设是定义在 R 上的偶函数，且它的图象关于 x=2 对称，已知时，，求时，的表达式。解：由题设知：有两条对称轴和所以为周期函数，且为它的一个周期又当时，所以三、图象关于两点成中心对称的抽象函数例 7 设函数的图象关于相异两点 A（a,0），B（b，0）都对称，则是一个周期为的周期函数。证明：由题设有，这样故原命题得证例 8 定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数，又也是奇函数，求的值。解：因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(x)关于 O（0，0）对称，且 f(0)=0又是奇函数，所以 f(x)关于点（-1，0）对称所以是 f(x)的一个周期所以四、图象有一条对称轴和一个中心对称点的抽象函数例 10 设函数的图象关于点 A（a，0）与直线都对称，则f(x)为周期函数，且是它的一个周期。证明：因为函数 f(x)图象点于点 A（a，0）对称所以又函数 f(x)图象关于直线对称所以这样所以为周期函数且为它的一个周期。
VIP
