高三数学（文）函数的奇偶性人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的奇偶性1. 概念一般地，对于函数（1）如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫奇函数。（2）如果对于函数定义域内任意一个 ，都有，那么函数就叫做偶函数。注：① 函数为奇函数或偶函数的一个必要条件是函数的定义域关于原点对称② 对于与应从数形两方面理解点的对称性，即函数图象的对称性P 与均在图象上③ 刻画的为函数的整体性质2. 奇偶性的性质（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的图象关于原点成中心对称图形，那么此函数是奇函数。证（）设函数是奇函数，则，在函数图象上任取一点P（），则即也是图象上一点，而是 P 关于原点O 的对称点，所以函数图象上任意一点关于原点的对称点都在图象上，即的图象关于原点成中心对称（）设图象成中心对称，在图象上任取一点 P（），则 P关于原点的对称点（）也在上 时，而函数值是唯一的，∴ 由 的任意性知，在的定义域内有，故为奇函数（2）偶函数的图象关于轴成轴对称图形，反过来，若一个函数的图象关于轴成轴对称图形，则此函数是偶函数。证明略。（3）如果和都是奇（偶）函数，则函数也是奇（偶）函数证：设，都是奇函数，设 和都是奇函数 ∴ （都是偶函数同理可证）推论：① 两个奇（偶）函数的和与差都是奇（偶）函数② 奇（偶）函数与常数之积是奇（偶）函数③ 两个非零的一奇一偶函数之和既非奇函数又非偶函数对③设奇函数，偶函数，令（反证）若是奇函数，则是奇函数而与是偶函数矛盾，若是偶函数，则是偶函数与是奇函数矛盾，但非奇非偶函数的和、差、积、商可能是奇或偶函数，如，偶，奇，偶（4）奇偶性相同的两个函数之积（商）为偶函数，而奇偶性相异的两个函数之积（商）为奇函数（证略）（5）函数既是奇函数又是偶函数的充要条件是证：既奇又偶且，且定义域关于原点对称，非恒为 0 函数，是奇则必非偶，是偶则必非奇。（6）如果定义在 A 上的奇函数存在反函数，则反函数也是奇函数证：设的值域 B，则即的定义域，设，则有唯一的， 使 得， 从 而 有， 又 因是 奇 函 数 ， 所 以，从而有且有，即是奇函数。（7）定义在对称区间内的任何函数都可表示成一个偶函数与一个奇函数之和。证明：对于，令，则，而，即与分别为偶函数和奇函数，故命题得证（8）在复合函数中① 若为偶函数，则为偶函数② 若为奇函数，为偶（奇）函数，...
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