第 2 计 西瓜开门 滚到成功●计名释义比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想 . 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.●典例示范［题 1］ （2006 年赣卷第 5 题）对于 R 上可导的任意函数 f（x），若满足（x－1）f （x）0，则必有A. f（0）＋f（2）< 2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2 f（1）C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1）［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0 中暗示得极为显目.其一，对 f＇(x)有大于、等于和小于 0 三种情况；其二，对 x-1，也有大于、等于、小于 0 三种情况.因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.［解一］ （i）若 f＇(x) ≡ 0 时，则 f(x)为常数：此时选项 B、C 符合条件.（ii）若 f＇(x)不恒为 0 时. 则 f＇(x)≥0 时有 x≥1，f（x）在[1,∞)上为增函数；f＇(x)≤0时 x ≤1. 即 f（x）在(−∞,1]上为减函数. 此时，选项 C、D 符合条件.综合（i），（ii），本题的正确答案为 C.［插语］ 考场上多见的错误是选 D. 忽略了 f＇(x) ≡ 0 的可能. 以为（x-1）f＇(x) ≥0 中等号成立的条件只是 x-1=0，其实 x-1=0 与 f＇(x)=0 的意义是不同的：前者只涉 x 的一个值，即 x=1，而后是对 x 的所有可取值，有 f＇(x) ≡ 0.［再析］ 本题 f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值 f（0），f（1），f（2）. 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.数学破题 36 计
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