第二讲分式的恒等变形【专题知识点概述】分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。一：基本知识1.分式的运算规律（1）加减法：（2）乘法：（3）除法：（4）乘方：2.分式的基本性质（1）（2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3.比例的重要性质（1）如果（传递性）（2）如果（内项积等于外项积）（3）如果（4）如果（5）如果那么第二讲：分式的恒等变形page1of124.倒数性质（1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。（2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。（3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。二、有关分式的运算求值问题乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。例1.若a、b、c均为非零常数，且满足，又，且,求x的值。例2.已知例3.已知三个正数a、b、c满足abc=1,求的值例4.已知求的值。第二讲：分式的恒等变形page2of12例5.已知求的值。例6.已知x+y+z=3a(,且x、y、z不全相等)，求的值。例7.已知，n是自然数，求的值。例8.。例9.已知，试求分式的值。第二讲：分式的恒等变形page3of12例10.已知三个不全为零的数x、y、z满足，。求的值。例11.若x、y、z为有理数，且求的值例12.已知a、b、c互不相等，且满足a+b+c=0,求的值。例13.已知，求的值。例14.若，求的值。第二讲：分式的恒等变形page4of12例15.如果。三、有关分式的化简问题例16.化简。例17.化简。例18.化简例19.已知，并且，化简。第二讲：分式的恒等变形page5of12例20.若，化简。例21.化简：三、有关分式的证明问题例22.若，求证：例23.已知有理数a、b、c满足a+b+c=0，abc=8.试判断是正数、负数、还是零。例24.已知有理数a、b、c满足，求证：。第二讲：分式的恒等变形page6of12例25.若n为自然数，且，求证：例26.证明：对于任意自然数n，分数不可约。例27.已知,求证：。例28.证明：例29.设n为正整数，求证：。例30.若第二讲：分式的恒等变形page7of12，求证。例31.设a、b、c均为正数，且，证明：。例32.求证。例33.能否找出6个奇数，使其倒数之和为1.第二讲：分式的恒等变形page8of12
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