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分式不等式和绝对值不等式(高中数学衔接内容)VIP专享VIP免费

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新高一衔接讲义分式不等式和绝对值不等式知识详解一、分式不等式概念1.分式不等式的概念:分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。2.各种分式不等式经过变形都可化为标准形式ab>0(ab≥0)或ab<0(ab≤0),其中a,b分别为整式,且b≠0。二、分式不等式解法解分式不等式的思路:化为标准形式,变形为整式不等式求解。【例1】解不等式(1)x−3x+7<0(2)x+13x−3>0(3)2+7xx−9≥0(4)3x+4x−1≤0(5)2xx−1≤1(6)x−43−x≥1【变式1.1】不等式≤0的解集为___________【变式1.2】与不等式x−32−x≥0同解的不等式是()A.(x-3)(2-x)≥0B.0<x-2≤1C.2−xx−3≥0D.(x-3)(2-x)≤01《旧知回顾》1.不等式的性质:(1)若a>b,则a±c>b±c;(2)若a>b,c>0,则ac>bc;(3)若a>b,c<0,则acb>0,则a2>b2;2.分式方程定义:分母中还有未知数的等式叫做分式方程。3.绝对值的定义及性质4.一元二次不等式解法※注意:ab>0变形为ab>0;ab<0变形为ab<0;ab≥0;变形为{ab≥0b≠0;ab≤0变形为{ab≤0b≠0;【变式1.3】(1)2x−15x+2≤0(2)3x−22x≥1【例2】解下列不等式(1)(x−1)(x2−3x+2)<0(2)x−1(x−2)(x−3)>0【变式2.1】(1)−x2+2x+2≤−12(2)x−5x2+9x+18<0【提高习题】1.不等式1+x>11−x的解集为___________2.不等式axx−1<1的解集为x<1或x>2,则a的值为___________3.解不等式3x−7x2+2x−3≥22方法总结当有些分式不等式变形成为标准形式ab>0(ab≥0)或ab<0(ab≤0)仍然不能解答时,注意分类讨论的思想:三、含有绝对值的不等式1.绝对值的定义及性质绝对值:在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值。绝对值的性质:|a|={a(a>0)0(a=0)−a(a<0)绝对值的几何意义:2.含绝对值不等式的解法探究不等式|x|<1的解集。方法1:不等式¿x∨¿1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合。所以,不等式¿x∨¿1的解集为−134的解集__________________;|x|>2√3的解集______________.【例3】解下列不等式(1)|3x−9|<4(2)|4x−5|>1(3)|x+1|−¿4−x∨¿0(4)|2x−8|−¿x−4∨¿0【变式3.1】(1)|√2x−3|<1(2)|34x+5|<43※注意:解含绝对值不等式的三种常用思路(1)利用绝对值的几何意义观察(2)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论(3)两边同时平方去掉绝对值符号小结:形如不等式¿x∨¿a和¿x∨¿a(a>0)的解集为(1)不等式¿x∨¿a的解集为−aa。(3)|x−1|<¿9−x∨¿(4)|x−3|−¿2−x∨¿0【例4】(1)解不等式|x−8|−¿x−4∨¿2(2)解不等式¿x+1∨+¿3−x∨¿2+x.【变式4.1】解不等式|x−3|−¿x+1∨¿1习题:解不等式¿x−1∨+¿2x−4∨¿3+x提高练习1.不等式3<¿3−2x∨≤5的解集为__________2.不等式¿x2-3x∨¿4的解集是________.3.若不等式¿3x-b∨<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为________4.解不等式(1)¿2x2−x∨¿1(2)|x2−3x|<44小结:含有多个绝对值的不等式的解法----零点分段法对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c的不等式,可以先按每个绝对值部分等于0,将绝对值不等式进行化简变形,然后分段求解,解集可以借助数轴研究。总结(1)解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对值的符号,其基本思想是把含绝对值的不等式转为不含绝对值的不等式。(2)零点分段法解含有多个绝对值的不等式。5

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