新高一衔接讲义分式不等式和绝对值不等式知识详解一、分式不等式概念1．分式不等式的概念：分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。2.各种分式不等式经过变形都可化为标准形式ab>0(ab≥0)或ab<0(ab≤0)，其中a,b分别为整式，且b≠0。二、分式不等式解法解分式不等式的思路:化为标准形式，变形为整式不等式求解。【例1】解不等式（1）x−3x+7<0（2）x+13x−3>0（3）2+7xx−9≥0（4）3x+4x−1≤0（5）2xx−1≤1（6）x−43−x≥1【变式1.1】不等式≤0的解集为___________【变式1.2】与不等式x−32−x≥0同解的不等式是（）A．(x－3)(2－x)≥0B．0＜x－2≤1C．2−xx−3≥0D．(x－3)(2－x)≤01《旧知回顾》1.不等式的性质：（1）若a>b,则a±c>b±c；（2）若a>b，c>0,则ac>bc；（3）若a>b，c<0,则ac
b>0，则a2>b2；2.分式方程定义：分母中还有未知数的等式叫做分式方程。3.绝对值的定义及性质4．一元二次不等式解法※注意：ab>0变形为ab>0；ab<0变形为ab<0;ab≥0；变形为{ab≥0b≠0；ab≤0变形为{ab≤0b≠0；【变式1.3】（1）2x−15x+2≤0（2）3x−22x≥1【例2】解下列不等式（1）(x−1)(x2−3x+2)<0（2）x−1(x−2)(x−3)>0【变式2.1】（1）−x2+2x+2≤−12（2）x−5x2+9x+18<0【提高习题】1．不等式1+x>11−x的解集为___________2．不等式axx−1<1的解集为x<1或x>2，则a的值为___________3．解不等式3x−7x2+2x−3≥22方法总结当有些分式不等式变形成为标准形式ab>0(ab≥0)或ab<0(ab≤0)仍然不能解答时，注意分类讨论的思想：三、含有绝对值的不等式1．绝对值的定义及性质绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值。绝对值的性质：|a|={a(a>0)0(a=0)−a(a<0)绝对值的几何意义：2．含绝对值不等式的解法探究不等式|x|<1的解集。方法1：不等式¿x∨¿1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合。所以，不等式¿x∨¿1的解集为−134的解集__________________；|x|>2√3的解集______________.【例3】解下列不等式（1）|3x−9|<4（2）|4x−5|>1（3）|x+1|−¿4−x∨¿0（4）|2x−8|−¿x−4∨¿0【变式3.1】（1）|√2x−3|<1（2）|34x+5|<43※注意：解含绝对值不等式的三种常用思路（1）利用绝对值的几何意义观察（2）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论（3）两边同时平方去掉绝对值符号小结：形如不等式¿x∨¿a和¿x∨¿a(a>0)的解集为（1）不等式¿x∨¿a的解集为−aa。（3）|x−1|<¿9−x∨¿（4）|x−3|−¿2−x∨¿0【例4】（1）解不等式|x−8|−¿x−4∨¿2（2）解不等式¿x+1∨+¿3−x∨¿2+x.【变式4.1】解不等式|x−3|−¿x+1∨¿1习题：解不等式¿x−1∨+¿2x−4∨¿3+x提高练习1．不等式3<¿3−2x∨≤5的解集为__________2．不等式¿x2－3x∨¿4的解集是________．3．若不等式¿3x－b∨＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________4．解不等式（1）¿2x2−x∨¿1（2）|x2−3x|<44小结：含有多个绝对值的不等式的解法----零点分段法对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可以先按每个绝对值部分等于0，将绝对值不等式进行化简变形，然后分段求解，解集可以借助数轴研究。总结（1）解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对值的符号，其基本思想是把含绝对值的不等式转为不含绝对值的不等式。（2）零点分段法解含有多个绝对值的不等式。5
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