绝对值三角不等式VIP专享VIP免费

选修 4 － 5 不等式选讲 第一讲 不等式和绝对值不等式 2.1 绝对值三角不等式 1. 实数 a 的绝对值 |a| 的代数意义是什么 ?问题提出000(0aaaaaa(当时)(当时)当时)2. 实数 a 的绝对值 |a| 的几何意义是什么 ?|a|0x表示数轴上坐标为 a 的点 A 到原点的距离 .Ao·a 3. 对于任意两个实数 a,b. 它们的差的绝对值 |a － b| 的几何意义是什么 ?|a-b|ABabx··表示数轴上实数 a,b 对应的点 A ， B 之间的距离，即线段 AB 的长度 . 4. 从“运算”的角度考察绝对值的性质 ,对于任意两个实数 a, b. 它们的绝对值|a| 、 |b| 和他们的和、差、积、商的绝对值 | |, ,|a+b|,|a － b| 之间有什么关系？aba b|| || | |a bab (1)||||aabb(2)特别地，22||.aa|| ||.aa||aa(3) 新课探究： 绝对值三角不等式 思考 1 ：对于非零向量 a ， b ，根据向量加法的几何意义 ,|a ＋ b| ， |a| ， |b| 三者之间有什么不等关系？ |a ＋ b|≤|a| ＋ |b| ，当且仅当 a 与 b 同向时取等号 .aba ＋ b三角形两边之和大于第三边 . 思考 2 ：根据类比推理，对于实数 a ，b ，猜想 |a ＋ b|≤|a| ＋ |b| ，如何判断这个猜想是否成立？ (|a| ＋ |b|)2 － |a ＋ b|2 ＝ 2(|ab| － ab)≥0.思考 3 ：上述分析表明，对于实数 a ，b ，有 |a ＋ b|≤|a| ＋ |b| ，当且仅当ab≥0 时，等号成立，并称该不等式为绝对值三角不等式，如何利用数轴解释这个不等式的几何意义？ a>0,b>0xO aba+bxOaba+ba<0,b<0|a+b|=|a|+|b|xOaba+bxOaba+ba>0,b<0a<0,b>0|a+b|<|a|+|b|(1) 当 ab>0时 ,(2) 当 ab<0 时，(3) 当 ab=0 时 ,有 a=0 或 b=0 易得 :|a+b|=|a|+|b|综上可得 :|a+b||a|+|b|当且仅当 ab0 时 , 等号成立 .定理 1 ：若 a,b∈R, 则 思考 4 ：在绝对值三角不等式中，将 b用－ b 代替可得什么结论？ |a － b|≤|a| ＋ |b| ，当且仅当 ab≤0 时，等号成立 .思考 5 ：显然， |a| ＝ |(a － b) ＋ b| ， |a| ＝ |(a ＋ b) －b| ，利用绝对值三角不等式可得什么结论？ |a| － |b|≤|a － b| ， |a| － |b|≤|a ＋b|. 思考 6 ：对 a,b,c∈R, 则 |a － b|, |b － c|,|c － a| 之间有什么关系？在数轴上如何...