4.3 三角恒等变换核心考点·精准研析 考点一 三角函数式的化简求值 1.(2019·全国卷Ⅱ)已知 α∈ ,2sin 2α=cos 2α+1,则 sin α=( )A. B. C. D. 2.计算: =________. 3.化简: =________. 【解析】1.选 B.由 2sin 2α=cos 2α+1 得 4sin αcos α=2cos2α,即 2sin α=cos α,结合 sin2α+cos2α=1,解得 sin α= .2. = = = = =2 .答案:2 3.原式= = = =1.答案:1 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.【一题多解】倍角降次解 T3,原式= = = = =1.三角形法解 T1,因为 α∈ ,所以 sin α>0,cos α>0,由 2sin 2α=cos 2α+1 得 4sin αcos α=2cos2α,即 2sin α=cos α,tan α= ,画直角三角形如图,不妨设角 α 对边为 1,邻边为 2,则斜边为 ,sin α= . 考点二 条件求值问题 命题精解读考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.学霸好方法条件求值的四个必备结论(1)降幂公式:cos2α= ,sin2α= .(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.(3)公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).(4)辅助角公式:asin x+bcos x= sin(x+φ) 其中 sin φ= ,cos φ= 给角求值【典例】(2019·沈阳四校联考)化简: - =________. 【 解 析 】 - = = = =4.答案:4 给角求值如何求解?提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简. 给值求值【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知 sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则 sin(α+β)=________. 2.(2018·全国卷Ⅱ)已知 tan = ,则 tan α=________. 【解析】1.由 sin α+cos β=1 与 cos α+sin β=0 分别平方相加得 sin2α+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2 β=1, 即 2+2sin αcos β+2cos αsin β=1,所以 sin(α+β)=- .答案:- 2.因为 tan =tan = ,所以 = ,解得 tan α= .答案: 给值求值问题如何求解?提示:(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三...
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