二 平面与圆柱面的截线自我小测1．已知平面 β 与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为，则平面 β 与圆柱母线的夹角是( )A．30° B．60°C．45° D．90°2．如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的( )A．9 倍 B．4 倍C．12 倍 D．18 倍3．在圆锥内部嵌入 Dandelin 双球，一个位于平面 π 的上方，一个位于平面 π 的下方，并且与平面 π 及圆锥均相切，若平面 π 与双球的切点不重合，则平面 π 与圆锥面的截线是( )A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线4．已知圆柱的底面半径为 r，平面 α 与圆柱母线的夹角为 60°，则它们截口椭圆的焦距是( )A．2r B．4r C．r D．3r5．如图所示，已知 A 为左顶点，F 是左焦点，l 交 OA 的延长线于点 B，P，Q 在椭圆上，有PD⊥l 于 D，QF⊥AO，则椭圆的离心率是①； ②； ③； ④； ⑤.其中正确的是( )A．①② B．①③④C．②③⑤ D．①②③④⑤6．已知平面 π 截圆柱体，截口是一条封闭曲线，且截面与底面所成的角为 45°，此曲线是__________，它的离心率为__________．7．已知椭圆两准线间的距离为 8，离心率为，则 Dandelin 球的半径是__________．8．已知圆柱底面半径为 b，平面 π 与圆柱母线的夹角为 30°，在圆柱与平面交线上有一点 P 到一准线 l1的距离是 b，则点 P 到另一准线 l2对应的焦点 F2的距离是__________．9．如图所示，已知 PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，求 PQ.12参考答案1．解析：设平面 β 与圆柱母线的夹角为 φ，则 cos φ＝，故 φ＝30°.答案：A2．解析：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a,2b,2c，由已知，得＝2c，即 a＝3c，故两条准线间的距离为＝＝18c.答案：A3．B4．解析：如图，过点 G2作 G2H⊥AD，H 为垂足，则 G2H＝2r.在 Rt△G1G2H 中，G1G2＝＝2r×2＝4r，∴长轴 2a＝G1G2＝4r，短轴 2b＝2r.∴焦距 2c＝2＝2×r＝2r.答案：A5．解析：①符合离心率定义；②过点 Q 作 QC⊥l 于 C，∵QC＝FB，∴＝符合离心率定义；③∵AO＝a，BO＝，∴＝＝，故也是离心率；④∵AF＝a－c，AB＝－a，∴＝＝，∴是离心率；⑤∵FO＝c，AO＝a，∴＝是离心率．答案：D6．答案：椭圆 7．解析：由题意知解得∴b＝＝.∴Dandelin 球的半径为.答案：8．解析：由题意知，椭圆短轴为 2b，长轴长 2a＝＝4b，∴c＝＝b.∴e＝＝或 e＝cos 30°＝.设 P 到 F1的距离为 d，3则＝，∴d＝b.又 PF1＋PF2＝2a＝4b，∴PF2＝4b－PF1＝4b－b＝b.答案：b9．解：设椭圆长轴为 2a，短轴为 2b，焦距为 2c，由已知可得 a＝10，b＝6，c＝＝8，e＝＝.由椭圆定义，知 PF1＋PF2＝G1G2＝20，又 PF1∶PF2＝1∶3，则 PF1＝5，PF2＝15.由离心率定义，得＝，∴PQ＝.4
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