考点十 三角恒等变换与解三角形 一、选择题1．(2019·全国卷Ⅱ)已知 α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则 sinα＝( )A．B．C．D．答案 B解析 由 2sin2α＝cos2α＋1，得 4sinαcosα＝2cos2α.又 α∈，∴tanα＝，∴sinα＝.故选 B.2．(2019·辽宁丹东质量测试二)若 tan＝－3，则 sin2α－cos2α＝( )A．B．－C．－1D．3答案 A解析 因为 tan＝－3⇒＝－3⇒tanα＝2，所以 sin2α－cos2α＝＝＝＝，故选 A.3．(2019·湖北 4 月调研)已知 sinx＋cosx＝，则 cos＝( )A．B．C．D．答案 B解析 由 sinx＋cosx＝，得 2sin＝，所以 cos＝sin＝，故选 B.4．(2019·山西吕梁阶段性测试一)已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，若 2cosB＝，则该三角形一定是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案 A解析 由 2cosB＝得 2×＝，即 c2＝b2，∴b＝c，∴△ABC 为等腰三角形，故选 A.5．(2019·湖南湘东五校联考)已知 sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则 log 2 等于( )A．2B．3C．4D．5答案 C解析 因为 sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以 sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sinαcosβ－cosαsinβ＝，所以 sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，所以＝5，所以 log 2＝log 52＝4.故选 C.6．如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为( )A．B．C．D．答案 D解析 根据题意可设此三角形的三边长分别为 2t,2t，t，由余弦定理得它的顶角的余弦值为＝.7．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且 a2＝c2＋ac－bc，则＝( )A．B．C．D．答案 B解析 由 a，b，c 成等比数列得 b2＝ac，则有 a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得 cosA＝＝＝，故 A＝，对于 b2＝ac，由正弦定理得，sin2B＝sinAsinC＝·sinC，由正弦定理得，＝＝＝.8．(2019·山东栖霞模拟)设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a＝2，B＝2A，则 b 的取值范围为( )A．(0,4)B．(2,2)C．(2，2)D．(2，4)答案 C解析 a＝2，B＝2A，∴0<2A<，A＋B＝3A，∴<3A<π，∴
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