两条直线重合条件的运用在《平面解析几何》课本中,两条直线平行和垂直的条件运用得比较充分,而对两条直线重合的条件则运用得不够,在教与学两个方面都应引起注意.下面想从三个方面谈一谈两条直线重合条件的运用.1.求直线的方程例 1.设在同一个坐标平面上的两个动点,它们的坐标满足:当动点 P 在不垂直于坐标轴的直线 l 上移动时,动点 Q 在与直线 l 垂直且过点 A(1,2)的直线 l′上移动,求直线 l 的方程.解:设直线 l 的方程为: ①则直线 l′的方程为: ②把已知的表达式代入②整理得: ③① 和③表示不垂直于坐标轴的同一条直线,根据两条直线重合的条件,有.解得∴直线 l 的方程为:例 2.四边形 ABCD 的四条边所在的直线方程分别为:,不解交点,求四边形 ABCD两条对角线所在的直线方程.分析:不解交点 A、C 的坐标,而求直线 AC 的方程,可先写出过 A 点的直线系方程:以及过 C 点的直线系方程:.利用这两直线系中两条直线重合的条件:.可以确定参数,即得直线 AC 的方程:用同样的方法，可以得到直线 BD 的方程：这两个例题都是首先利用已知条件建立直线系方程,然后再运用两条直线重合的条件确定参数,而得到直线的方程.2.求直线的斜率例 3.如果将直线 l 沿 x 轴正方向平移 a 个单位（a≠0），再沿 y 轴负方向平移 a+1 个单位，l 又回到原来的位置上，求直线 l 的斜率.解:设直线 l 的方程为: ①则经过平移后直线的方程为:.即 ②由于①和②表示同一条直线,∴直线 l 的斜率.1. 证明三角恒等式例 4.已知:,求证:.证明:设则直线 AB 的方程为:用心 爱心 专心.即 ①由两个已知等式可知,直线 AB 的方程又可以写成: ②根据①与②是两条重合的直线可得:.本例把求证的三角恒等式与两条直线重合的条件有机地结合起来,从而达到证明的目的,方法十分巧妙.用心 爱心 专心
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