课时作业(二十) 数系的扩充和复数的概念A 组 基础巩固1．以 3i－的虚部为实部，以 3i2＋i 的实部为虚部的复数是( )A．3－3i B．3＋iC．－＋i D.＋i解析：3i－的虚部为 3,3i2＋i＝－3＋i 的实部为－3，故选 A.答案：A2．若复数 cosθ＋isinθ 和 sinθ＋icosθ 相等，则 θ 值为( )A. B.或 πC．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)解析：由复数相等定义得∴tanθ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z)，故选 D.答案：D3．下列命题中：①若 x，y∈C，则 x＋yi＝1＋i 的充要条件是 x＝y＝1；② 纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③ 若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则 z1＝z2＝z3；④ 若实数 a 与 ai 对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①取 x＝i，y＝－i，则 x＋yi＝1＋i，但不满足 x＝y＝1，故①错；②③错；对于④，a＝0 时，ai＝ 0，④错，故选 A.答案：A4．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数 a 的值为( )A．1 B．1 或－4C．－4 D．0 或－4解析：由题意知解得 a＝－4.答案：C5．已知集合 M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数 m 的值为( )A．4 B．－1C．4 或－1 D．1 或 6解析：由题意知∴m＝－1.答案：B6．若 log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数 x 的取值范围是__________．解析：∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，∴∴x＝－2.答案：{－2}7．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且 z1＝z2，则实数 m＝__________，n＝__________.解析：由复数相等的充要条件有⇒答案：2 ±28．复数 z＝cos＋isin，且 θ∈，若 z 是实数，则 θ 的值为__________；若 z 为纯虚数，则 θ 的值为__________．解析：若 z 为实数，则 sin＝cosθ＝0，又∵θ∈，∴θ＝±.若 z 为纯虚数，则有⇒θ＝0.答案：± 09．已知 x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数 x，y 的值．解析：由复数相等的概念，得解得或10．若 x、y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求 x，y 的取值范围．解析：∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0 且 x－1＞2x，∴x＜－1，∴x，y 的取值范围分别为 x＜－1，y＝0.B 组 能力提升11．关于 x 的方程 3x2－x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 a 的值．解析：设方程的实数根为 x＝m，则原方程可化为 3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，∴解得 a＝11 或 a＝－.故实数 a 的值为 11 或－.12．求满足条件 2≤|z|＜3 的复数 z 在复平面上表示的图形．解析：如图，图形是以原点 O 为圆心，半径分别为 2 个单位长和 3 个单位长的两个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周．12
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