第二章 函 数第二节 函数的单调性与最值1. (2014 福建，5 分)已知函数 f(x)＝则下列结论正确的是( )A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)解析：因为 f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以 f(－π)≠f(π)，所以函数 f(x)不是偶函数，排除 A；因为函数 f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除 B；函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数 f(x)不是周期函数，排除 C；因为 x＞0 时，f(x)＞1，x≤0 时，－1≤f(x)≤1，所以函数 f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选 D.答案：D2. (2014 北京，5 分)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝ B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)解析：显然 y＝是(0，＋∞)上的增函数；y＝(x－1)2 在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝x在 x∈R 上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数，故选 A.答案：A3. (2014 四川，5 分)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数 φ(x)，存在一个正数 M，使得函数 φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当 φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x 时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：① 设函数 f(x)的定义域为 D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；② 函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值；③ 若函数 f(x)，g(x)的定义域相同，且 f(x)∈A，g(x)∈B，则 f(x)＋g(x)∉B；④ 若函数 f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则 f(x)∈B.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)解析：对于①，根据题中定义，f(x)∈A⇔函数 y＝f(x)，x∈D 的值域为 R，由函数值域的概念知，函数 y＝f(x)，x∈D 的值域为 R⇔∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b，所以①正确；对于②，例如函数 f(x)＝|x|的值域(0,1]包含于区间[－1,1]，所以 f(x)∈B，但 f(x)有最大值1，没有最小值，所以②错误；对于③，若 f(x)＋g(x)∈B，则存在一个正数 M1，使得函数f(x)＋g(x)的值域包含于区间[－M1，M1]，所以－M1≤f(x)＋g(x)≤M1，由 g(x)∈B 知，存在一个正数 M2，使得函数 g(x)的值域包含于区间[－M2，M2]，所以－M2≤g(x)≤M2，亦有－M2≤－g(x)≤M2，两式相加得－(M1＋M2)≤f(x)≤M1＋M2，于是 f(x)∈B，与已知“f(x)∈A”矛盾，故 f(x)＋g(x)∉B，即③正确；对...
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